Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 70 % de los asistentes a un partido de fútbol son aficionados del equipo local. El resto, del equipo visitante. Las entradas solo se pueden comprar por internet o en taquilla. El 30 % de los aficionados del equipo local y el 60 % de los aficionados del equipo visitante compraron su entrada por internet.

a) Elegido un asistente al partido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comprase su entrada por internet? [1,5 puntos]

b) Elegido al azar un asistente entre los que compraron su entrada en taquilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea del equipo visitante? [1 punto]

$\textbf{a) Elegido un asistente al partido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comprase su entrada por internet? [1,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos $L$ = «es aficionado local», $V$ = «es visitante» e $I$ = «compró por internet». Los datos son

$P(L)=0{,}70\qquad P(V)=0{,}30\qquad P(I|L)=0{,}30\qquad P(I|V)=0{,}60$



Los dos tipos de aficionado forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando los caminos que terminan en $I$:

$P(I)=P(L)\,P(I|L)+P(V)\,P(I|V)=0{,}70\cdot0{,}30+0{,}30\cdot0{,}60$

$P(I)=0{,}21+0{,}18=0{,}39$

Un $39\ \%$ de los asistentes compró su entrada por internet.

$\textbf{b) Elegido al azar un asistente entre los que compraron su entrada en taquilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea del equipo visitante? [1 punto]}$

La probabilidad de comprar en taquilla es la complementaria:

$P(\overline{I})=1-0{,}39=0{,}61$

y la de ser visitante y comprar en taquilla, el producto de la rama correspondiente:

$P(V\cap\overline{I})=0{,}30\cdot0{,}40=0{,}12$

Por el teorema de Bayes:

$P(V|\overline{I})=\frac{P(V\cap\overline{I})}{P(\overline{I})}=\frac{0{,}12}{0{,}61}$

$P(V|\overline{I})=0{,}197$

Entre quienes compraron en taquilla, un $19{,}7\ \%$ son aficionados visitantes, bastante menos que el 30 % que representan en el total. Es coherente: los visitantes recurren más a internet, así que están infrarrepresentados en la cola de la taquilla.