Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En la tómbola de un parque de atracciones se puede elegir entre 70 sobres, 40 son rojos y 30 son verdes. De los sobres rojos solo dos tienen el premio del peluche gigante, el 75 % tienen «siga jugando» y el resto tienen otro tipo de premios. Entre los sobres verdes, tres contienen peluches gigantes, 23 tienen «siga jugando» y el resto, otros premios.

a) ¿Es más probable conseguir un peluche gigante si se elige un sobre verde o uno rojo? Si se elige un sobre al azar, ¿cuál es la probabilidad de ganar un peluche gigante? [1,5 puntos]

b) Si al elegir un sobre, sin poder ver el color, el premio no fue el peluche gigante y tampoco tenía «siga jugando», ¿cuál es la probabilidad de que el sobre haya sido verde? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Es más probable conseguir un peluche gigante si se elige un sobre verde o uno rojo? Si se elige un sobre al azar, ¿cuál es la probabilidad de ganar un peluche gigante? [1,5 puntos]}$

Lo primero es completar el reparto de los 70 sobres. Entre los 40 rojos, el 75 % lleva «siga jugando», es decir, $0{,}75\cdot40=30$ sobres, y 2 llevan peluche, así que los demás premios son $40-2-30=8$. Entre los 30 verdes, 3 llevan peluche y 23 «siga jugando», luego otros premios hay $30-3-23=4$:

$$	Peluche	Siga jugando	Otros	Total Rojos	2	30	8	40 Verdes	3	23	4	30 Total	5	53	12	70

Las probabilidades condicionadas de conseguir peluche con cada color son

$P(\text{peluche}|\text{rojo})=\frac{2}{40}=0{,}05\qquad P(\text{peluche}|\text{verde})=\frac{3}{30}=0{,}10$

Es, por tanto, $\textbf{el doble de probable con un sobre verde}$, pese a que hay menos sobres verdes que rojos.

Eligiendo un sobre al azar entre los 70, la probabilidad de peluche es simplemente la proporción de sobres premiados:

$P(\text{peluche})=\frac{5}{70}=\frac{1}{14}=0{,}0714$

algo más del 7 %. Se obtiene lo mismo con el teorema de la probabilidad total:

$P(\text{peluche})=\frac{40}{70}\cdot\frac{2}{40}+\frac{30}{70}\cdot\frac{3}{30}=\frac{2}{70}+\frac{3}{70}=\frac{5}{70}$

$\textbf{b) Si el premio no fue el peluche gigante y tampoco tenía «siga jugando», ¿cuál es la probabilidad de que el sobre haya sido verde? [1 punto]}$

La condición reduce el espacio muestral a los sobres de «otros premios», que según la tabla son $8+4=12$, de los cuales 4 son verdes:

$P(\text{verde}|\text{otros})=\frac{P(\text{verde}\cap\text{otros})}{P(\text{otros})}=\frac{4/70}{12/70}=\frac{4}{12}$

$P(\text{verde}|\text{otros})=\frac13=0{,}333$

La probabilidad de que el sobre fuera verde es de $1/3$. Obsérvese que es menor que la probabilidad de partida de sacar un sobre verde, $30/70=0{,}43$: saber que el premio fue de los «otros» hace algo menos plausible que el sobre fuese verde, porque en esa categoría los rojos son mayoría.