Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una asignatura que cursan conjuntamente estudiantes de las especialidades A y B de cierta carrera, el 60 % del alumnado es de la especialidad A y el resto de la B. El porcentaje de suspensos sobre el conjunto del alumnado es del 30 %, mientras que si consideramos solo el alumnado de la especialidad A, este porcentaje sube al 40 %.

a) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar de entre todo el alumnado sea de especialidad A y suspenda la asignatura. [0,5 puntos]

b) Si se elige al azar un o una estudiante que haya aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo B? [1,5 puntos]

c) ¿Es independiente, en términos de sucesos, suspender del grupo al que se pertenece? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar de entre todo el alumnado sea de especialidad A y suspenda la asignatura. [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos $A$ = «es de la especialidad A», $B$ = «es de la B» y $S$ = «suspende». Los datos son

$P(A)=0{,}60\qquad P(B)=0{,}40\qquad P(S)=0{,}30\qquad P(S|A)=0{,}40$

Lo que se pide es la probabilidad de la intersección, que sale de la definición de probabilidad condicionada:

$P(A\cap S)=P(A)\cdot P(S|A)=0{,}60\cdot0{,}40$

$P(A\cap S)=0{,}24$

Un 24 % del alumnado es de la especialidad A y suspende.

$\textbf{b) Si se elige al azar un o una estudiante que haya aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo B? [1,5 puntos]}$

Conviene organizar los datos en una tabla de contingencia, que aquí es más cómoda que el árbol porque se conoce el total de suspensos:

$$	Suspende	Aprueba	Total Especialidad A	0,24	0,36	0,60 Especialidad B	0,06	0,34	0,40 Total	0,30	0,70	1,00

La casilla de A y suspenso es la del apartado anterior; la de B y suspenso sale por diferencia, $0{,}30-0{,}24=0{,}06$, y el resto se completa restando de los totales.

Ahora la probabilidad pedida es una condicionada:

$P(B|\overline{S})=\frac{P(B\cap\overline{S})}{P(\overline{S})}=\frac{0{,}34}{0{,}70}$

$P(B|\overline{S})=0{,}486$

Entre quienes aprueban, un $48{,}6\ \%$ es de la especialidad B, bastante más que el 40 % que representa en el conjunto del alumnado.

$\textbf{c) ¿Es independiente, en términos de sucesos, suspender del grupo al que se pertenece? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando $P(S|A)=P(S)$, o equivalentemente cuando $P(A\cap S)=P(A)\cdot P(S)$. Aquí:

$P(S|A)=0{,}40\qquad P(S)=0{,}30$

$P(A)\cdot P(S)=0{,}60\cdot0{,}30=0{,}18\neq0{,}24=P(A\cap S)$

No son independientes. Pertenecer a la especialidad A eleva la probabilidad de suspender del 30 % al 40 %, mientras que en la B la baja hasta

$P(S|B)=\frac{0{,}06}{0{,}40}=0{,}15$

un 15 %. La diferencia entre los dos grupos es considerable.