Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un estudio afirma que el 70 % de las personas jóvenes adquieren ropa en plataformas de segunda mano, mientras que el resto lo hace en tiendas tradicionales. El estudio también afirma que el 60 % de quienes compran en plataformas de segunda mano realiza donaciones de ropa a ONG, porcentaje que baja al 20 % entre quienes compran en tiendas tradicionales.

a) Si se selecciona al azar una persona joven de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que compre en plataformas de segunda mano y no realice donaciones de ropa? [1 punto]

b) ¿Se puede afirmar que donar ropa es independiente de dónde se compra la ropa? [0,5 puntos]

c) Si la persona seleccionada realiza donaciones de ropa, ¿cuál es la probabilidad de que compre en tiendas tradicionales? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre en plataformas de segunda mano y no realice donaciones de ropa? [1 punto]}$

Se nombran los sucesos $S$ = «compra en plataformas de segunda mano», $T$ = «compra en tiendas tradicionales» y $D$ = «dona ropa a una ONG». Los datos son

$P(S)=0{,}70\qquad P(T)=0{,}30\qquad P(D|S)=0{,}60\qquad P(D|T)=0{,}20$



Lo que se pide es la probabilidad de un camino completo del árbol, que se obtiene multiplicando:

$P(S\cap\overline{D})=P(S)\cdot P(\overline{D}|S)=0{,}70\cdot0{,}40$

$P(S\cap\overline{D})=0{,}28$

Un 28 % de las personas jóvenes compra de segunda mano y no dona ropa.

$\textbf{b) ¿Se puede afirmar que donar ropa es independiente de dónde se compra la ropa? [0,5 puntos]}$

Se calcula primero la probabilidad total de donar, sumando los dos caminos que terminan en $D$:

$P(D)=0{,}70\cdot0{,}60+0{,}30\cdot0{,}20=0{,}42+0{,}06=0{,}48$

Para que los sucesos fueran independientes tendría que cumplirse $P(D|S)=P(D)$, y no es el caso:

$P(D|S)=0{,}60\neq0{,}48=P(D)$

De modo que no: donar ropa y el lugar de compra no son independientes. Quien compra de segunda mano dona bastante más (60 %) que la media de la población (48 %) y mucho más que quien compra en tiendas tradicionales (20 %).

$\textbf{c) Si la persona seleccionada realiza donaciones de ropa, ¿cuál es la probabilidad de que compre en tiendas tradicionales? [1 punto]}$

Ahora se conoce el resultado —dona— y se pregunta por la causa, así que se aplica el teorema de Bayes:

$P(T|D)=\frac{P(T\cap D)}{P(D)}=\frac{P(T)\cdot P(D|T)}{P(D)}=\frac{0{,}30\cdot0{,}20}{0{,}48}$

$P(T|D)=\frac{0{,}06}{0{,}48}=0{,}125$

Solo un $12{,}5\ \%$ de quienes donan ropa la compra en tiendas tradicionales. La cifra es menor que el 30 % de partida, y tiene sentido: como en ese grupo se dona mucho menos, saber que alguien dona hace menos probable que sea comprador de tienda tradicional.