Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una universidad pública el 20 % del alumnado pertenece al estrato socioeconómico más alto, el 50 % al estrato medio y el resto al estrato socioeconómico más bajo. En el estrato más alto, la probabilidad de abandonar los estudios es del 5 %, en el medio del 15 % y en el más bajo alcanza el 30 %.

a) Si se elige al azar a una persona que ha abandonado esta universidad, ¿a qué estrato socioeconómico es más probable que pertenezca? [1,5 puntos]

b) ¿Hay relación entre el abandono y el estrato socioeconómico? [0,5 puntos]

c) La universidad ofrece un servicio de orientación. Solo el 12 % del alumnado que acude a ese servicio abandona sus estudios. Sabiendo esta información, ¿hay argumentos probabilísticos para afirmar que el servicio de orientación influye en la probabilidad de abandono? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Si se elige al azar a una persona que ha abandonado esta universidad, ¿a qué estrato socioeconómico es más probable que pertenezca? [1,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos: $A$ = «pertenece al estrato alto», $M$ = «al medio», $B$ = «al bajo» y $D$ = «abandona los estudios». Los datos del enunciado son

$P(A)=0{,}20\quad P(M)=0{,}50\quad P(B)=0{,}30$

$P(D|A)=0{,}05\quad P(D|M)=0{,}15\quad P(D|B)=0{,}30$

y se organizan en un árbol:



Los tres estratos forman un sistema completo de sucesos, así que la probabilidad total de abandono es la suma de los tres caminos que llevan a $D$:

$P(D)=0{,}20\cdot0{,}05+0{,}50\cdot0{,}15+0{,}30\cdot0{,}30$

$P(D)=0{,}010+0{,}075+0{,}090=0{,}175$

Y ahora, por el teorema de Bayes, se reparte ese 0,175 entre los tres estratos:

Estrato	Probabilidad a posteriori	Valor Alto	$0{,}010/0{,}175$	$0{,}057$ Medio	$0{,}075/0{,}175$	$0{,}429$ Bajo	$0{,}090/0{,}175$	$0{,}514$

Lo más probable, con diferencia, es que pertenezca al estrato socioeconómico más bajo: algo más de la mitad de quienes abandonan proceden de él, pese a ser solo el 30 % del alumnado. Las tres probabilidades suman 1, como debe ser.

$\textbf{b) ¿Hay relación entre el abandono y el estrato socioeconómico? [0,5 puntos]}$

Sí, y muy clara. Dos sucesos son independientes cuando conocer uno no cambia la probabilidad del otro, es decir, cuando $P(D|X)=P(D)$. Aquí:

$P(D|A)=0{,}05\qquad P(D|M)=0{,}15\qquad P(D|B)=0{,}30\qquad P(D)=0{,}175$

Las tres probabilidades condicionadas son distintas entre sí y distintas de la global, de modo que el abandono $\textbf{no}$ es independiente del estrato: saber a qué estrato pertenece una persona cambia mucho su probabilidad de abandonar, que se multiplica por seis del estrato alto al bajo.

$\textbf{c) Solo el 12 \% del alumnado que acude al servicio de orientación abandona sus estudios. ¿Hay argumentos probabilísticos para afirmar que el servicio de orientación influye en la probabilidad de abandono? [0,5 puntos]}$

Llamando $O$ a «acude al servicio de orientación», el dato es $P(D|O)=0{,}12$, frente a la probabilidad general $P(D)=0{,}175$.

Como $P(D|O)<P(D)$, los dos sucesos no son independientes y sí hay un argumento probabilístico: entre quienes acuden a orientación se abandona menos que en el conjunto del alumnado.

Ahora bien, conviene ser prudente con la palabra «influye». Lo que muestran los datos es una asociación, no necesariamente una relación de causa y efecto: podría ocurrir, por ejemplo, que quienes acuden al servicio sean precisamente los más motivados por continuar, y entonces el menor abandono se explicaría por esa motivación previa y no por la orientación recibida. Para hablar de influencia haría falta comparar grupos equivalentes.