Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En los años 60 del siglo pasado, un satélite solía orbitar a $\mathrm{1,6}\cdot {10}^4\text{ km}$ sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente:

i) La energía potencial de un satélite de $1000\text{ kg}$ en esta órbita. [0,5 puntos]

ii) La velocidad que lleva el satélite en esa órbita. [0,5 puntos]

iii) La energía que tiene el satélite en dicha órbita. [0,5 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura sobre la superficie.

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{1,6}\cdot {10}^7=\mathrm{2,237}\cdot {10}^7\text{ m}$

La energía potencial gravitatoria de dos masas, con el origen en el infinito, es

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}$

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 1000}{\mathrm{2,237}\cdot {10}^7}}$

$E_p=-\mathrm{1,78}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

El signo negativo indica que el satélite está ligado a la Tierra: haría falta aportarle esa energía para llevarlo al infinito en reposo.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lleva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que curva la trayectoria.

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

La masa del satélite se simplifica, lo que explica que todos los satélites de una misma órbita vayan a la misma velocidad.

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{3,989}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{2,237}\cdot {10}^7}}}$

$v=\mathrm{4,22}\cdot {10}^3{\text{m s}}^{-1}$

El satélite recorre su órbita a unos $\mathrm{4,22}{\text{km s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. La cinética se puede escribir a partir de la condición de órbita del apartado anterior:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}$

$E_m=E_c+E_p=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}+E_p={\displaystyle \frac{E_p}{2}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

$E_m={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,78}\cdot {10}^{10}}{2}}=-\mathrm{8,92}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica del satélite en esa órbita es de $-\mathrm{8,92}\cdot {10}^9\text{ J}$. Que sea negativa es la condición de órbita ligada: mientras la energía mecánica sea menor que cero el satélite no puede escapar del campo gravitatorio terrestre.