Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un melón ($m_{\text{mel}\acute{\text{o}}\text{n}}=2\text{ kg}$) y una sandía ($m_{\text{sand}\acute{\text{ı}}\text{a}}=3\text{ kg}$) se encuentran en reposo y sin posibilidad de moverse en el origen de coordenadas y en el punto $A(1\text{ m},0\text{ m})$, respectivamente. Colocamos una naranja ($m_{\text{naranja}}=200\text{ g}$) en el eje $OX$ a 30 cm del origen de coordenadas en sentido positivo. La naranja está inicialmente en reposo, pero puede moverse libremente a lo largo del eje $OX$.

a) La naranja, ¿permanecerá en reposo? En el caso de que inicie su movimiento, ¿con qué aceleración lo hará (módulo, dirección y sentido) en ese instante? [1 punto]

b) Calcule la energía potencial gravitatoria de la naranja en el eje $OX$ a 50 cm del origen de coordenadas en sentido positivo. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{naranja,}}\mathbf{\text{¿permanecer}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inicie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{movimiento,}}\mathbf{\text{¿con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{har}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{instante?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Sobre la naranja actúan dos fuerzas gravitatorias, las dos atractivas y de sentidos opuestos, porque la naranja está entre las otras dos frutas. Con la naranja en $x=\mathrm{0,30}\text{ m}$, las distancias son

$r_1=\mathrm{0,30}\text{ m}{r}_2=1-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,70}\text{ m}$

y el campo resultante es la diferencia de los dos.





$g_1=G\frac{m_1}{r_1^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{2}{{\mathrm{0,30}}^2}=\mathrm{1,48}\cdot {10}^{-9}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

$g_2=G\frac{m_2}{r_2^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{3}{{\mathrm{0,70}}^2}=\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-10}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El primero apunta hacia el origen (sentido $-x$) y el segundo hacia el punto $A$ (sentido $+x$). Como $g_1>g_2$, no se compensan y la naranja no permanece en reposo: empieza a moverse hacia el melón.

Por la segunda ley de Newton, la aceleración es precisamente el campo resultante, sin que intervenga la masa de la naranja:

$a=\frac{F_1-F_2}{m}=g_1-g_2=\mathrm{1,48}\cdot {10}^{-9}-\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-10}$

$a=\mathrm{1,07}\cdot {10}^{-9}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

La naranja acelera con $\mathrm{1,07}\cdot {10}^{-9}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$, en la dirección del eje $OX$ y en sentido negativo, es decir, hacia el melón.

Conviene ver dónde estaría el equilibrio. Igualando los dos campos, con $x$ la distancia al melón:

$G\frac{2}{x^2}=G\frac{3}{(1-x{)}^2}\Rightarrow \frac{1-x}{x}=\sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow x=\mathrm{0,449}\text{ m}$

La naranja se ha colocado a 0,30 m, más cerca del melón que ese punto, de modo que en efecto gana el melón. La aceleración es minúscula —del orden de la milmillonésima de $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$— porque la gravitación entre cuerpos de unos pocos kilogramos es despreciable frente a cualquier rozamiento real.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{naranja}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{positivo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía potencial de la naranja es la suma de las energías de interacción con cada una de las otras dos frutas; al ser un escalar, se suman directamente. En $x=\mathrm{0,50}\text{ m}$ la naranja está en el punto medio, a $\mathrm{0,50}\text{ m}$ de cada una:

$E_p=-G\frac{m_{1}m}{\mathrm{0,50}}-G\frac{m_{2}m}{\mathrm{0,50}}=-\frac{Gm(m_1+m_2)}{\mathrm{0,50}}$

$E_p=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{0,2}\cdot (2+3)}{\mathrm{0,50}}$

$E_p=-\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

La energía potencial vale $-\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$. Es negativa, como siempre en el campo gravitatorio: se toma nula en el infinito y hay que aportar energía para separar las frutas.