Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un satélite de $\mathrm{1,5}\cdot {10}^9\text{ kg}$ de masa gira describiendo una órbita circular a una altura de $\mathrm{9,0}\cdot {10}^3\text{ km}$ sobre la superficie de un cierto planeta $P$, de masa $M_P=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$ y radio $R_P=\mathrm{3,5}\cdot {10}^3\text{ km}$.

a) Determine el periodo y la velocidad orbital del satélite. [1 punto]

b) Calcule el valor y represente el campo gravitatorio en un punto de la superficie del planeta $P$ y en un punto de la órbita del satélite. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y por la segunda ley de Newton:

$G\frac{M_{P}m}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{G{M}_P}{r}}$

La masa del satélite se simplifica: por grande que sea —y $\mathrm{1,5}\cdot {10}^9\text{ kg}$ lo es—, no influye en la órbita.





El radio se mide desde el centro del planeta:

$r=R_P+h=\mathrm{3,5}\cdot {10}^6+\mathrm{9,0}\cdot {10}^6=\mathrm{1,25}\cdot {10}^7\text{ m}$

$v=\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,25}\cdot {10}^7}}=\mathrm{5,66}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Y el período, del movimiento circular uniforme:

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot \mathrm{1,25}\cdot {10}^7}{\mathrm{5,66}\cdot {10}^3}=\mathrm{1,39}\cdot {10}^4\text{ s}$

$T=\mathrm{1,39}\cdot {10}^4\text{ s}=\mathrm{3,86}\text{ h}$

La velocidad orbital es de $\mathrm{5,66}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$ y el período, de casi cuatro horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo gravitatorio creado por el planeta a una distancia $d$ de su centro es

$\vec{g}=-G\frac{M_P}{d^2}{\vec{u}}_r$

siempre dirigido hacia el centro del planeta, como muestran las flechas de la figura. En la superficie, $d=R_P$:

$g_{\text{sup}}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{3,5}\cdot {10}^6{)}^2}=\mathrm{32,7}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Y en la órbita, $d=r=\mathrm{1,25}\cdot {10}^7\text{ m}$:

$g_{\text{orb}}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{1,25}\cdot {10}^7{)}^2}=\mathrm{2,56}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

El campo vale $\mathrm{32,7}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en la superficie —más del triple que en la Tierra— y $\mathrm{2,56}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en la órbita, los dos dirigidos radialmente hacia el centro del planeta. La razón entre ambos es $(r\mathrm{/}{R}_P{)}^2=(\mathrm{1,25}\cdot {10}^7\mathrm{/}\mathrm{3,5}\cdot {10}^6{)}^2=\mathrm{12,8}$, exactamente la disminución que predice el inverso del cuadrado.

Conviene añadir que ese $g_{\text{orb}}$ es también la aceleración centrípeta del satélite: $v^2\mathrm{/}r=(\mathrm{5,66}\cdot {10}^3{)}^2\mathrm{/}\mathrm{1,25}\cdot {10}^7=\mathrm{2,56}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$. El satélite está en caída libre permanente, y por eso sus ocupantes flotarían aunque la gravedad allí no sea nula.