Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El mayor de los satélites que orbitan en torno a Saturno es Titán. Si en una erupción desde uno de los volcanes en la superficie de Titán saliera una roca alcanzando una altura de 300 km sobre la superficie, calcule:

a) La velocidad inicial que la roca volcánica posee durante la erupción justo en la superficie de Titán. [1 punto]

b) La relación entre velocidad de escape en Titán y en la Tierra. [1 punto]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; $R_{\text{Tit}\acute{\text{a}}\text{n}}=\mathrm{2,574}\cdot {10}^6\text{ m}$; $M_{\text{Tit}\acute{\text{a}}\text{n}}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{roca}}\mathbf{\text{volc}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{erupci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{justo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Tit}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza que actúa sobre la roca una vez ha salido del volcán es la gravitatoria, que es conservativa: se conserva la energía mecánica entre la superficie y el punto más alto, donde la roca se detiene ($v=0$) antes de caer.

No puede usarse $v^2=2gh$: 300 km no es despreciable frente al radio de Titán y la gravedad no es constante en ese tramo.





$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_0^2=-G\frac{Mm}{R+h}+0$

Simplificando la masa de la roca y despejando:

$v_0=\sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h})}$

Con $R=\mathrm{2,574}\cdot {10}^6\text{ m}$ y $R+h=\mathrm{2,574}\cdot {10}^6+\mathrm{3,00}\cdot {10}^5=\mathrm{2,874}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$v_0=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,35}\cdot {10}^{23}(\frac{1}{\mathrm{2,574}\cdot {10}^6}-\frac{1}{\mathrm{2,874}\cdot {10}^6})}$

$v_0=\mathrm{8,55}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La roca sale del volcán a $855\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Sirve de comprobación estimar la gravedad superficial de Titán, $g=GM\mathrm{/}{R}^2=\mathrm{1,36}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$: con esa gravedad supuesta constante saldría $v=\sqrt{2gh}=903\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, un 6 % más, que es justo el error que se comete al no tener en cuenta que la gravedad disminuye con la altura.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Tit}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica sea nula, es decir, que el cuerpo llegue al infinito con velocidad cero:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

En Titán:

$v_{\text{esc,T}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,35}\cdot {10}^{23}}{\mathrm{2,574}\cdot {10}^6}}=\mathrm{2,65}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

En la Tierra:

$v_{\text{esc,Tierra}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La relación pedida es

$\frac{v_{\text{esc,T}}}{v_{\text{esc,Tierra}}}=\sqrt{\frac{M_T{R}_{\text{Tierra}}}{M_{\text{Tierra}}{R}_T}}=\frac{\mathrm{2,65}\cdot {10}^3}{\mathrm{1,12}\cdot {10}^4}=\mathrm{0,237}$

Escapar de Titán exige solo el 23,7 % de la velocidad que hace falta en la Tierra: la terrestre es 4,2 veces mayor. Por eso Titán, pese a ser un satélite, conserva atmósfera: sus moléculas frías no alcanzan esos 2,65 km/s con facilidad.