Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

El planeta Urano tiene una masa de $\mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$ y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie es de $\mathrm{8,9}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$. Calcule:

a) el radio medio de Urano y la velocidad de escape en su superficie. [1 punto]

b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 1 m sobre la superficie del planeta, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? [1 punto]

Nota: cualquier expresión aproximada que sea utilizada sobre la variación de la energía de la piedra, o la aceleración a la que está sometida en su movimiento, debe ser justificada.

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Urano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La gravedad en la superficie es el campo creado por la masa del planeta a una distancia igual a su radio:

$g=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{GM}{g}}$

De ahí sale el radio, y con él la velocidad de escape.





$R=\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}}{\mathrm{8,9}}}=\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}$

El radio medio de Urano es de $\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}$, unos $25500\text{ km}$, cuatro veces el terrestre.

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que un cuerpo lanzado desde la superficie llegue al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}$

La segunda forma es más cómoda, porque evita repetir el producto $GM$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot \mathrm{8,9}\cdot \mathrm{2,55}\cdot {10}^7}=\mathrm{2,13}\cdot {10}^4\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad de escape es de $\mathrm{21,3}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$, casi el doble de la terrestre.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{caer}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{piedra}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{chocar}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aquí sí cabe usar la aproximación de campo uniforme, y el enunciado pide justificarla. La razón es que la altura de caída es ridícula frente al radio del planeta:

$\frac{h}{R}=\frac{1}{\mathrm{2,55}\cdot {10}^7}=\mathrm{3,9}\cdot {10}^{-8}$

de modo que la gravedad en el punto de partida y en el de llegada difieren en una parte entre veinte millones: $g(R+h)\mathrm{/}g(R)=(R\mathrm{/}(R+h){)}^2\approx 1-2h\mathrm{/}R$. Con $g$ constante, la conservación de la energía mecánica da

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$

$v=\sqrt{2\cdot \mathrm{8,9}\cdot 1}=\mathrm{4,22}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La piedra llega al suelo a $\mathrm{4,22}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, un poco más deprisa que en la Tierra ($\mathrm{4,43}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ serían con $g=\mathrm{9,8}$; aquí sale menos porque la gravedad de Urano, pese a su enorme masa, es algo inferior a la terrestre: su radio es cuatro veces mayor).

Si no quisiera hacerse la aproximación, la expresión exacta sería $v=\sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h})}$, que da el mismo $\mathrm{4,22}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ con todas las cifras que quepan en la calculadora.