Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Dos calabazas cuyas masas respectivas son $m_A=8\text{ kg}$ y $m_B=6\text{ kg}$ se encuentran en reposo sobre una mesa a una distancia de 1 m medida entre los centros de las calabazas. Colocamos una manzana, cuya masa es $m=200\text{ g}$, en el punto medio entre ambas calabazas. Las únicas fuerzas que actúan sobre la manzana son las fuerzas gravitatorias debidas a las calabazas. Calcule:

a) La intensidad de campo gravitatorio en el punto en el que inicialmente hemos colocado la manzana. [1 punto]

b) El trabajo que hemos de realizar para mover la manzana hasta un punto situado a 20 cm del centro de la calabaza con mayor masa. Razone si este desplazamiento de la manzana será espontáneo. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{colocado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manzana.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo gravitatorio es la superposición de los campos creados por cada calabaza. Los dos son atractivos y en el punto medio $M$ apuntan en sentidos opuestos, cada uno hacia su calabaza, de modo que el módulo del campo resultante es la diferencia de los módulos.

Cada calabaza está a $d=\mathrm{0,5}\text{ m}$ del punto medio.





$g_A=G\frac{m_A}{d^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{8}{{\mathrm{0,5}}^2}=\mathrm{2,13}\cdot {10}^{-9}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

$g_B=G\frac{m_B}{d^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{6}{{\mathrm{0,5}}^2}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-9}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

Tomando como positivo el sentido que va de $A$ hacia $B$:

$g_M=-g_A+g_B=G\frac{m_B-m_A}{d^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{6-8}{{\mathrm{0,5}}^2}$

$g_M=-\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-10}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El campo en el punto medio tiene módulo $\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-10}\text{ N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$ y está dirigido hacia la calabaza de $8\text{ kg}$, que es la que más masa tiene. Nótese que el campo no depende de la masa de la manzana: esta solo interviene al calcular la fuerza, $F=m{g}_M=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{5,34}\cdot {10}^{-10}=\mathrm{1,07}\cdot {10}^{-10}\text{ N}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{mover}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manzana}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calabaza}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{masa.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{desplazamiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manzana}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{espont}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo se calcula con los potenciales, que se suman como escalares. En el punto inicial $M$, con las dos calabazas a $\mathrm{0,5}\text{ m}$:

$V_M=-G(\frac{m_A}{\mathrm{0,5}}+\frac{m_B}{\mathrm{0,5}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 28=-\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-9}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El punto final $N$ está a $\mathrm{0,2}\text{ m}$ de la calabaza de $8\text{ kg}$ y, por tanto, a $1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}\text{ m}$ de la otra:

$V_N=-G(\frac{8}{\mathrm{0,2}}+\frac{6}{\mathrm{0,8}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{47,5}=-\mathrm{3,17}\cdot {10}^{-9}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El trabajo que realiza el campo sobre la manzana es

$W_{\text{campo}}=m(V_M-V_N)=\mathrm{0,2}\cdot (-\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-9}+\mathrm{3,17}\cdot {10}^{-9})$

$W_{\text{campo}}=\mathrm{2,60}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

y el que hemos de realizar nosotros es el opuesto, porque para que la manzana llegue en reposo la fuerza exterior tiene que compensar exactamente a la gravitatoria:

$W_{\text{ext}}=-W_{\text{campo}}=-\mathrm{2,60}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

Como $W_{\text{campo}}>0$ —equivalentemente, porque el potencial disminuye, $V_N<V_M$—, el desplazamiento sí es espontáneo: el propio campo empuja a la manzana hacia la calabaza grande y no hay que aportar energía, sino retenerla. Que el trabajo exterior salga negativo es justamente la señal de esa espontaneidad.