Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una caja contiene 3 fichas verdes, 2 fichas azules y 4 fichas rojas. Un juego consiste en realizar dos extracciones, sin reemplazamiento, de tal manera que el jugador que saque dos fichas azules gana el primer premio, el jugador que saque dos fichas verdes gana el segundo premio y el jugador que, de las dos fichas, una sea azul y otra de un color diferente gana el tercer premio.

a) Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio. [0,75 puntos]

c) Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio. [0,75 puntos]}$

La caja contiene 3 fichas verdes, 2 azules y 4 rojas, en total 9 fichas. Como las extracciones son sin reemplazamiento, en la segunda quedan 8 fichas y una menos del color que salió la primera vez. Llamamos $AA$ al suceso «las dos fichas son azules» y $VV$ al suceso «las dos son verdes», que son incompatibles.

$P(AA)=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{72}$

$P(VV)=\dfrac{3}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{6}{72}$

$P(AA\cup VV)=\dfrac{2}{72}+\dfrac{6}{72}=\dfrac{8}{72}=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}1111$

La probabilidad de conseguir el primer o el segundo premio es $\dfrac{1}{9}\approx 0{,}1111$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio. [0,75 puntos]}$

El tercer premio exige exactamente una ficha azul, y esa ficha puede salir en la primera o en la segunda extracción. Son dos casos incompatibles y, como se ve al multiplicar, igualmente probables.

$P(\text{azul y después no azul})=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{7}{8}=\dfrac{14}{72}$

$P(\text{no azul y después azul})=\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{14}{72}$

$P(T)=\dfrac{14}{72}+\dfrac{14}{72}=\dfrac{28}{72}=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}3889$

La probabilidad de ganar el tercer premio es $\dfrac{7}{18}\approx 0{,}3889$.

$\textbf{c) Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio? [1 punto]}$

Es una probabilidad condicionada. Como los tres premios son incompatibles entre sí, la probabilidad de obtener premio es la suma de las tres, calculadas en los apartados anteriores.

$P(\text{premio})=P(AA)+P(VV)+P(T)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{2}{18}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}$

Además, ganar el tercer premio implica haber obtenido premio, de modo que $T\cap\text{premio}=T$.

$P(T/\text{premio})=\dfrac{P(T)}{P(\text{premio})}=\dfrac{\dfrac{7}{18}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{7}{18}\cdot 2=\dfrac{7}{9}\approx 0{,}7778$

Sabiendo que el jugador ha obtenido premio, la probabilidad de que sea el tercero es $\dfrac{7}{9}\approx 0{,}7778$.