Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una casa con trastero viven tres personas y cada una tiene un llavero con las llaves de la casa. El primer llavero contiene 7 llaves, el segundo 8 y el tercero 5. En cada uno de los llaveros hay una única llave que abre el trastero. Otra persona necesita abrir el trastero y, para ello, selecciona un llavero al azar y, de este, elige una llave aleatoriamente e intenta abrirlo. Calcule la probabilidad de que:

a) No haya acertado con la llave seleccionada. [1 punto]

b) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero. [0,5 puntos]

c) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero. [0,5 puntos]

d) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero. [0,5 puntos]

$\textbf{a) No haya acertado con la llave seleccionada. [1 punto]}$

Llamamos $L_1$, $L_2$ y $L_3$ a los sucesos «elegir el primer, el segundo o el tercer llavero» y $A$ al suceso «la llave abre el trastero». Como el llavero se elige al azar entre tres, $P(L_1)=P(L_2)=P(L_3)=\dfrac{1}{3}$, y dentro de cada llavero solo una llave abre, de modo que las probabilidades condicionadas son $\dfrac{1}{7}$, $\dfrac{1}{8}$ y $\dfrac{1}{5}$.



Calculamos primero la probabilidad de acertar aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(A)=P(L_1)P(A/L_1)+P(L_2)P(A/L_2)+P(L_3)P(A/L_3)$

$P(A)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5} =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{40+35+56}{280}=\dfrac{131}{840}$

No acertar es el suceso contrario:

$P(\overline{A})=1-\dfrac{131}{840}=\dfrac{709}{840}\approx 0{,}8440$

La probabilidad de no acertar con la llave seleccionada es $\dfrac{709}{840}\approx 0{,}8440$.

$\textbf{b) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero. [0,5 puntos]}$

Se recorre una sola rama del árbol y se multiplican sus probabilidades.

$P(L_3\cap A)=P(L_3)\cdot P(A/L_3)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}\approx 0{,}0667$

La probabilidad de que se elija el tercer llavero y la llave abra el trastero es $\dfrac{1}{15}\approx 0{,}0667$.

$\textbf{c) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero. [0,5 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado del experimento y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes. Los sucesos $L_1$ y $L_3$ son incompatibles, de modo que sus probabilidades se suman.

$P\left((L_1\cup L_3)/A\right)=\dfrac{P(L_1\cap A)+P(L_3\cap A)}{P(A)}$

$P\left((L_1\cup L_3)/A\right)=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}}{\dfrac{131}{840}} =\dfrac{\dfrac{40}{840}+\dfrac{56}{840}}{\dfrac{131}{840}}=\dfrac{96}{131}\approx 0{,}7328$

Sabiendo que la llave abre el trastero, la probabilidad de que proceda del primer o del tercer llavero es $\dfrac{96}{131}\approx 0{,}7328$.

$\textbf{d) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero. [0,5 puntos]}$

De nuevo es una probabilidad a posteriori, ahora condicionada a que la llave no abra. Calculamos por el contrario, que es más corto: dentro del primer llavero hay 6 llaves de 7 que no abren.

$P(L_1\cap\overline{A})=P(L_1)\cdot P(\overline{A}/L_1)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{2}{7}=\dfrac{240}{840}$

$P\left(\overline{L_1}/\overline{A}\right)=\dfrac{P(\overline{A})-P(L_1\cap\overline{A})}{P(\overline{A})} =\dfrac{\dfrac{709}{840}-\dfrac{240}{840}}{\dfrac{709}{840}}=\dfrac{469}{709}\approx 0{,}6615$

Si la llave no abre el trastero, la probabilidad de que no pertenezca al primer llavero es $\dfrac{469}{709}\approx 0{,}6615$.