Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2022

Dos masas puntuales de 0,2 kg de masa cada una y con igual carga $q=2\mu \text{C}$ se encuentran inicialmente en reposo y a una distancia de 1 m. Determine:

a) La energía mecánica del sistema.

b) La velocidad que tendrán las masas después de separarse 4 m entre sí.

Dato: constante de Coulomb $k=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}$










La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Las dos masas están inicialmente en reposo, de modo que toda ella es energía potencial electrostática:

$E_m=E_c+E_p=0+k{\displaystyle \frac{q^2}{r}}$





$E_m={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot {(2\cdot {10}^{-6})}^2}{1}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

La energía mecánica del sistema es de $\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$, y es positiva porque las dos cargas son del mismo signo: hubo que trabajar contra la repulsión para acercarlas hasta 1 m.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{masas}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{separarse}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{.}}$

La fuerza eléctrica es conservativa, así que se conserva la energía mecánica del sistema. A 4 m la energía potencial se ha reducido a la cuarta parte:

$E_p^{\mathrm{\prime }}=k{\displaystyle \frac{q^2}{r^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 4\cdot {10}^{-12}}{4}}=9\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

Lo que ha perdido de potencial aparece como cinética, repartida entre las dos:

$2\left({\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\right)=E_p-E_p^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-2}-9\cdot {10}^{-3}=\mathrm{2,7}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

Se ha escrito el doble de la energía cinética de una carga porque las dos masas son iguales y, por conservación de la cantidad de movimiento —que era nula al principio—, las dos adquieren la misma rapidez.

$m{v}^2=\mathrm{2,7}\cdot {10}^{-2}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}\cdot {10}^{-2}}{\mathrm{0,2}}}}$

$v=\mathrm{0,367}\text{ m/s}$

Cada masa se mueve a $\mathrm{0,367}\text{ m/s}$, en sentidos opuestos. Aunque siguieran alejándose indefinidamente la velocidad no crecería sin límite: el tope lo pone toda la energía potencial inicial, y da $\mathrm{0,424}\text{ m/s}$.