Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2024

En los puntos $(d,0)$, $(-d,0)$, $(0,d)$ y $(0,-d)$ del plano $xy$ se colocan cuatro cargas eléctricas puntuales iguales $Q>0$. Otra carga puntual $q<0$ de masa $m$ está inicialmente situada en el eje $z$ en el punto $z=2d$.



a) Calcule el campo eléctrico que las cuatro cargas situadas en el plano $xy$ crean en el punto del eje $z=2d$ donde está situada la carga $q<0$.

b) En un cierto instante, la carga $q<0$ se deja libre. Calcule su aceleración inicial.

Las cuatro cargas están todas a la misma distancia del punto del eje Z, por simetría:

$r=\sqrt{d^2+(2d{)}^2}=\sqrt{5}d$

de modo que los cuatro campos tienen el mismo módulo:

$E_i=k{\displaystyle \frac{Q}{5d^2}}$





Cada uno se aleja de su carga, porque todas son positivas. Al sumarlos, las componentes contenidas en el plano XY se cancelan dos a dos —las cargas están enfrentadas— y solo sobreviven las componentes en el eje Z. La proyección de cada una vale:

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{2d}{\sqrt{5}d}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

Por el principio de superposición:

$E=4k{\displaystyle \frac{Q}{5d^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{8kQ}{5\sqrt{5}{d}^2}}$

$\vec{E}={\displaystyle \frac{8kQ}{5\sqrt{5}{d}^2}}\vec{k}\simeq \mathrm{0,716}{\displaystyle \frac{kQ}{d^2}}\vec{k}$

El campo en el punto $z=2d$ vale ${\displaystyle \frac{8kQ}{5\sqrt{5}{d}^2}}$ y está dirigido en el sentido positivo del eje Z, alejándose del plano de las cargas.



La fuerza sobre la carga es:

$\vec{F}=q\vec{E}$

y como $q$ es negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo, es decir, apunta hacia el origen. Aplicando la segunda ley de Newton:

$\vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}={\displaystyle \frac{q\vec{E}}{m}}$

En módulo:

$a={\displaystyle \frac{8kQ\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{5\sqrt{5}m{d}^2}}\simeq \mathrm{0,716}{\displaystyle \frac{kQ\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{m{d}^2}}$

La aceleración inicial vale ${\displaystyle \frac{8kQ\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{5\sqrt{5}m{d}^2}}$ y está dirigida en el sentido NEGATIVO del eje Z: la carga negativa es atraída por las cuatro positivas y cae hacia el origen. Conviene señalar que esa aceleración no se mantiene constante: a medida que la carga se acerca al plano, el campo primero crece y luego se anula justo en el origen, donde por simetría los cuatro campos se cancelan.