Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2025

Un espectrómetro de masas separa iones de carga $q$ y masa $m$ según su relación carga-masa $q\mathrm{/}m$. La figura (a) muestra de forma esquemática un espectrómetro de masas. Cuando un haz de iones penetra con una velocidad $\vec{v}$ en la región sombreada de campo magnético uniforme $\vec{B}$, los iones describen un semicírculo de radio $R$ antes de impactar en una película fotográfica en la región P. Si los iones tienen carga positiva, el haz se desviará según la figura. Sabemos que un haz formado por iones positivos de ${\text{Na}}^{+}$, de ${\text{K}}^{+}$ y de ${\text{Rb}}^{+}$ entra con una cierta velocidad $\vec{v}$ conocida en un espectrómetro de masas. En la figura (b) se muestran las regiones 1, 2 y 3 donde impactan cada uno de los tres tipos de iones en la película fotográfica.



a) Razone qué tipo de ion impactará en cada una de las regiones.

b) En base a la distancia $d_3=10\text{ cm}$ de la región 3 de impacto al orificio de entrada, calcule las distancias de impacto $d_1$ y $d_2$.

Datos: las masas atómicas del ${\text{Na}}^{+}$, del ${\text{K}}^{+}$ y del ${\text{Rb}}^{+}$ son, respectivamente, 23 uma, 39 uma y 85,5 uma

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{impactar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{regiones.}}$










Dentro de la región de campo, la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

y la distancia de impacto es el diámetro de ese semicírculo:

$d=2R={\displaystyle \frac{2mv}{qB}}$





Los tres iones son monopositivos, de modo que todos tienen la misma carga $q$, entran con la misma velocidad $v$ y recorren el mismo campo $B$. Lo único que cambia de un ion a otro es la masa, y en la expresión anterior la distancia de impacto es directamente proporcional a ella:

$d\propto m$

Por tanto, el ion más ligero impacta más cerca del orificio de entrada y el más pesado, más lejos. Ordenando las masas:

$m({\text{Na}}^{+})=23\text{ u}<m({\text{K}}^{+})=39\text{ u}<m({\text{Rb}}^{+})=\mathrm{85,5}\text{ u}$

En la región 1, la más próxima al orificio, impacta el ${\text{Na}}^{+}$; en la región 2, el ${\text{K}}^{+}$; y en la región 3, la más alejada, el ${\text{Rb}}^{+}$.



Al ser la distancia proporcional a la masa, el cociente de dos distancias es el cociente de las masas y no hace falta conocer ni la velocidad ni el campo:

${\displaystyle \frac{d_1}{d_3}}={\displaystyle \frac{m({\text{Na}}^{+})}{m({\text{Rb}}^{+})}}={\displaystyle \frac{23}{\mathrm{85,5}}}$

$d_1=10\cdot {\displaystyle \frac{23}{\mathrm{85,5}}}=\mathrm{2,69}\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{d_2}{d_3}}={\displaystyle \frac{m({\text{K}}^{+})}{m({\text{Rb}}^{+})}}={\displaystyle \frac{39}{\mathrm{85,5}}}$

$d_2=10\cdot {\displaystyle \frac{39}{\mathrm{85,5}}}=\mathrm{4,56}\text{ cm}$

El sodio impacta a $\mathrm{2,69}\text{ cm}$ del orificio y el potasio a $\mathrm{4,56}\text{ cm}$. Obsérvese que las tres marcas no están equiespaciadas: su separación reproduce la de las masas, y en eso consiste precisamente el análisis por espectrometría.