Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2020

Dados los vectores $\vec{u}=(1,\,2,\,3)$ y $\vec{v}=(0,\,1,\,1)$: [2 puntos]

a) Halle un vector $\vec{w}$ de módulo uno que sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$.

b) Calcule el área del paralelogramo determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

$\textbf{a) Halle un vector } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ de módulo uno que sea perpendicular a } \boldsymbol{\vec{u}=(1,\,2,\,3)}\textbf{ y a } \boldsymbol{\vec{v}=(0,\,1,\,1)}\textbf{.}$

El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que se calcula primero y después se normaliza.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(2-3,\ 0-1,\ 1-0)=(-1,-1,1)$

$\left|\vec u\times\vec v\right|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

Dividiendo por el módulo se obtiene un vector unitario en esa dirección:

$\vec w=\dfrac{\vec u\times\vec v}{\left|\vec u\times\vec v\right|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$



Se comprueba que es perpendicular a los dos: $(-1,-1,1)\cdot(1,2,3)=-1-2+3=0$ y $(-1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0-1+1=0$.

El vector opuesto, $-\vec w$, también cumple lo pedido; el enunciado solo exige uno.

$\textbf{b) Calcule el área del paralelogramo determinado por } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{.}$

El área del paralelogramo que dos vectores determinan es precisamente el módulo de su producto vectorial, que ya está calculado:

$A=\left|\vec u\times\vec v\right|=\sqrt{3}\approx 1{,}7321$

El área del paralelogramo es $\sqrt{3}$ unidades cuadradas.