Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2020

Una onda armónica se desplaza por una cuerda y tiene la siguiente expresión en unidades del S.I.:

$y(x,t)=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}(4\pi t-\frac{\pi }{6}x)$

Para el instante $t=\mathrm{0,25}\text{ s}$, determine la elongación, la velocidad y la aceleración de un punto de la cuerda que se encuentra a 1,5 m del extremo situado en el origen de coordenadas.

De la ecuación de la onda se leen directamente la amplitud, la frecuencia angular y el número de onda:

$A=\mathrm{0,06}\text{ m}\omega =4\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad/m}$

La ELONGACIÓN se obtiene sustituyendo la posición y el instante en la propia ecuación:

$y=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}(4\pi \cdot \mathrm{0,25}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\cdot \mathrm{1,5})=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$y=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\mathrm{0,0424}\text{ m}$

La VELOCIDAD de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,06}\cdot 4\pi \cos (4\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}x)$

$v_y=\mathrm{0,754}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-\mathrm{0,533}\text{ m/s}$

Y la ACELERACIÓN, la derivada segunda, que en un movimiento armónico simple es proporcional a la elongación y de signo contrario:

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-{\omega }^{2}y=-{\left(4\pi \right)}^2\cdot \mathrm{0,0424}$

$a_y=-\mathrm{6,70}{\text{m/s}}^2$

En ese instante el punto está por encima de la posición de equilibrio, a 4,24 cm, bajando a 0,533 m/s y con la aceleración dirigida hacia abajo, es decir, hacia el equilibrio, como corresponde a un oscilador.