Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2020

Justifique la doble periodicidad de una onda a partir de su expresión matemática.

La ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ es:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx)=A\mathrm{sen}(2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x}{\lambda }})$

Escrita así, con el periodo y la longitud de onda en el denominador, la doble periodicidad se lee de un vistazo: la función depende del tiempo y de la posición, y es periódica en cada una de las dos variables por separado.

$\mathbf{\text{Periodicidad}}\mathbf{\text{temporal.}}$



Si se fija un punto de la cuerda, es decir, se mantiene $x$ constante, y se deja pasar un tiempo igual a un periodo:

$y(x,t+T)=A\mathrm{sen}(2\pi {\displaystyle \frac{t+T}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x}{\lambda }})=A\mathrm{sen}(2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x}{\lambda }}+2\pi )$

y como el seno tiene periodo $2\pi$:

$y(x,t+T)=y(x,t)$

Ese punto repite su estado de vibración cada periodo $T$.

$\mathbf{\text{Periodicidad}}\mathbf{\text{espacial.}}$



Si ahora se congela el tiempo y se avanza una longitud de onda a lo largo de la cuerda:

$y(x+\lambda ,t)=A\mathrm{sen}(2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x+\lambda }{\lambda }})=A\mathrm{sen}(2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x}{\lambda }}-2\pi )$

$y(x+\lambda ,t)=y(x,t)$

La forma de la cuerda se repite cada longitud de onda $\lambda$.

En resumen: la onda se repite en el TIEMPO cada periodo y en el ESPACIO cada longitud de onda. Las dos periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación, que es lo que la onda avanza en un periodo:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}$