Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2021

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X, tiene una amplitud de 8 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Si para $x=0$ y $t=0$ la elongación vale $y=4\text{ cm}$ y su velocidad es positiva, determine la ecuación de la onda y la distancia mínima que separa dos puntos de la onda cuya diferencia de fase es $\pi \mathrm{/}2$ rad.

De los datos del enunciado salen directamente los tres parámetros de la onda:

$A=8\text{ cm}=\mathrm{0,08}\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,04}}}=50\pi \text{ rad/m}$

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 8=16\pi \text{ rad/s}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La fase inicial sale de la condición del enunciado. En $x=0$ y $t=0$ la elongación es de 4 cm, la mitad de la amplitud:

$\mathrm{0,04}=\mathrm{0,08}\mathrm{sen}{\phi }_0\Rightarrow \mathrm{sen}{\phi }_0=\mathrm{0,5}$

Eso admite dos soluciones, ${\phi }_0=\pi \mathrm{/}6$ y ${\phi }_0=5\pi \mathrm{/}6$, y para elegir hay que usar el otro dato: que la velocidad sea positiva.

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0>0\Rightarrow \cos {\phi }_0>0$

El coseno solo es positivo en el primer caso, así que ${\phi }_0=\pi \mathrm{/}6$ y la ecuación de la onda es:

$y(x,t)=\mathrm{0,08}\mathrm{sen}(16\pi t-50\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ m}$

Para la segunda parte, la diferencia de fase entre dos puntos separados $\mathrm{\Delta }x$ en un mismo instante es:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=50\pi \mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{1}{100}}=\mathrm{0,01}\text{ m}=1\text{ cm}$

La distancia mínima es de 1 cm, es decir, un cuarto de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de un cuarto de vuelta.