Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

Se dispone de una muestra de ${10}^{20}$ núcleos de un material radiactivo cuyo periodo de semidesintegración es 29 años. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su actividad sea 600 Bq?

La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos que quedan:

$A=\lambda N$

y la constante de desintegración se obtiene del periodo, pasado a segundos porque la actividad se da en becquerelios:

$T_{1\mathrm{/}2}=29\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}=\mathrm{9,15}\cdot {10}^8\text{ s}$





$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{9,15}\cdot {10}^8}}=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

La actividad inicial de la muestra es:

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{-10}\cdot {10}^{20}=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{10}\text{ Bq}$

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}$

$t={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{7,58}\cdot {10}^{-10}}}\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{7,58}\cdot {10}^{10}}{600}}=\mathrm{2,46}\cdot {10}^{10}\text{ s}$

Son unos $\mathrm{2,46}\cdot {10}^{10}$ segundos, es decir, alrededor de 780 años, casi veintisiete periodos de semidesintegración.