Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla y León · 2024

Un objeto de 3 cm de tamaño se sitúa a 64 cm de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente convergente de focal 12 cm. ¿En qué posiciones hay que situar la lente para que se forme una imagen nítida del objeto en la pantalla? ¿Cuál sería el tamaño de la imagen en cada caso?

La imagen tiene que recogerse en la pantalla, de modo que es real y se forma al otro lado de la lente. Con el criterio de signos habitual, si la lente está a una distancia $d$ del objeto:

$s=-d{s}^{\mathrm{\prime }}=64-d$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas con $f^{\mathrm{\prime }}=12\text{ cm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{64-d}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

Se suman las fracciones del primer miembro:

${\displaystyle \frac{64}{d(64-d)}}={\displaystyle \frac{1}{12}}\Rightarrow d^2-64d+768=0$

$d={\displaystyle \frac{64\pm \sqrt{{64}^2-4\cdot 768}}{2}}={\displaystyle \frac{64\pm 32}{2}}$

Hay dos soluciones, y las dos son válidas: la lente puede colocarse a 16 cm o a 48 cm del objeto.



En la primera posición, con la lente a 16 cm del objeto:

$s=-16\text{ cm}{s}^{\mathrm{\prime }}=64-16=48\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{48}{-16}}=-3\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot 3=-9\text{ cm}$

La imagen mide 9 cm y está invertida: es tres veces mayor que el objeto.



En la segunda posición, con la lente a 48 cm del objeto:

$s=-48\text{ cm}{s}^{\mathrm{\prime }}=64-48=16\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{16}{-48}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 3=-1\text{ cm}$

Ahora la imagen mide 1 cm y también está invertida, pero es tres veces menor que el objeto.

Las dos posiciones son simétricas respecto del punto medio, y los dos aumentos son inversos el uno del otro. Es la propiedad en la que se basa el método de Bessel para medir distancias focales.