Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2025

Se considera el vector $\vec{u} = (3,-1,5)$.

a) Determinar $a$ para que el vector $\vec{t} = (1,a,0)$ sea perpendicular a $\vec{u}$. [0,75 puntos]

b) Determinar un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{u} = (3,-1,5)$ y a $\vec{v} = (2,6,0)$. [0,75 puntos]

c) Dados $\vec{u} = (3,-1,5)$, $\vec{v} = (2,6,0)$ y $\vec{w} = (-3,1,2)$, determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el vector } \boldsymbol{\vec{t} = (1,a,0)}\textbf{ sea perpendicular a } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar se anula.

$\vec u\cdot\vec t=(3,-1,5)\cdot(1,a,0)=3-a+0$

$3-a=0 \Rightarrow a=3$

El vector $\vec t=(1,3,0)$ es perpendicular a $\vec u$.

$\textbf{b) Determinar un vector } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{ perpendicular a } \boldsymbol{\vec{u} = (3,-1,5)}\textbf{ y a } \boldsymbol{\vec{v} = (2,6,0)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El producto vectorial de dos vectores no paralelos es, por definición, perpendicular a ambos.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \end{vmatrix}=(-30,\,10,\,20)$

Cualquier vector proporcional a este sirve igual, así que dividimos entre $10$ para dejarlo con las componentes más pequeñas:

$\vec w=(-3,\,1,\,2)$

Se comprueba con los dos productos escalares: $\vec u\cdot\vec w=-9-1+10=0$ y $\vec v\cdot\vec w=-6+6+0=0$.

$\textbf{c) Dados } \boldsymbol{\vec{u} = (3,-1,5)}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v} = (2,6,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w} = (-3,1,2)}\textbf{, determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{w}}\textbf{. [1 punto]}$

El volumen del paralelepípedo construido sobre tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto.



$V=\left|\left[\vec u,\vec v,\vec w\right]\right|=\left|\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix}\right|$

Desarrollamos por la segunda fila, que tiene un cero:

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}+6\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}=-2(-7)+6(21)=14+126=140$

$V=|140|=140$

El volumen del paralelepípedo es de $140$ unidades cúbicas. Obsérvese que no es nulo, lo que confirma que los tres vectores son linealmente independientes.