Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2024

La figura representa la velocidad para una onda armónica transversal de amplitud 10 m que se propaga en el sentido positivo del eje X en el instante inicial ($t=0$). Hallar:

a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. (1 punto)
b) Ecuación que representa la función de onda. (1 punto)
c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados 2 m? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Periodo,}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$



La gráfica del enunciado no representa la elongación, sino la $\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ de cada punto en el instante inicial. De ella se leen directamente dos datos: su valor máximo y la distancia entre dos puntos que se repiten, que es la misma longitud de onda de la onda.

$v_{\max }=40\text{ m/s}\lambda =\mathrm{3,2}\text{ m}$

La velocidad máxima de vibración de un movimiento armónico simple es $v_{\max }=A\omega$, y la amplitud la da el enunciado:

$\omega ={\displaystyle \frac{v_{\max }}{A}}={\displaystyle \frac{40}{10}}=4\text{ rad/s}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}=\mathrm{1,57}\text{ s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{3,2}}}=\mathrm{1,96}\text{ rad/m}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{1,96}}}=\mathrm{2,04}\text{ m/s}$

El periodo es de $\mathrm{1,57}\text{ s}$, la longitud de onda de $\mathrm{3,2}\text{ m}$ y la onda avanza a $\mathrm{2,04}\text{ m/s}$. Conviene no confundir esta velocidad de propagación con los 40 m/s a los que llega a vibrar cada punto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La onda se propaga en el sentido positivo del eje X, así que:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La velocidad de vibración es su derivada respecto del tiempo:

$v_y(x,t)=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

En el instante inicial, y según la gráfica, en $x=0$ la velocidad es nula y crece al aumentar $x$:

$v_y(0,0)=40\cos {\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

De los dos valores hay que quedarse con el que hace crecer la curva justo después del origen, que es:

${\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

En efecto, con esa fase $v_y(x,0)=40\mathrm{sen}(kx)$, que es nula en el origen y sube hasta su máximo en $x=\lambda \mathrm{/}4=\mathrm{0,8}\text{ m}$, tal y como muestra la gráfica.

$y(x,t)=10\mathrm{sen}(4t-\mathrm{1,96}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ en el mismo instante es:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{1,96}\cdot 2=\mathrm{3,93}\text{ rad}$

Los dos puntos vibran desfasados $\mathrm{3,93}\text{ rad}$, algo más de media oscilación.