Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El gasto (en euros) por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con varianza 64. Se selecciona una muestra de clientes, obteniéndose los siguientes gastos: 49.8, 34.4, 42.1, 55.7, 54.9, 53, 54.6, 53.3, 68.9 y 42.4

i) Calcule un intervalo de confianza al 93% para el gasto medio. (5 puntos)

ii) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo se reduzca a la mitad. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio.}}(5\text{ puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma =\sqrt{64}=8$

Se calcula la media de los diez datos de la muestra:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{49,8}+\mathrm{34,4}+\mathrm{42,1}+\mathrm{55,7}+\mathrm{54,9}+53+\mathrm{54,6}+\mathrm{53,3}+\mathrm{68,9}+\mathrm{42,4}}{10}}={\displaystyle \frac{\mathrm{509,1}}{10}}=\mathrm{50,91}$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,035}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,035}=\mathrm{0,965}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



$E=\mathrm{1,81}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{10}}}=\mathrm{1,81}\cdot \mathrm{2,5298}=\mathrm{4,58}$

Los extremos del intervalo son:

$\mathrm{50,91}-\mathrm{4,58}=\mathrm{46,33}$

$\mathrm{50,91}+\mathrm{4,58}=\mathrm{55,49}$

El intervalo de confianza al 93 % para el gasto medio por cliente es $(\mathrm{46,33};\mathrm{55,49})$ euros.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad.}}(5\text{ puntos})$

El error máximo es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha \mathrm{/}2}$ y $\sigma$ se mantienen, de modo que el error es inversamente proporcional a $\sqrt{n}$. Para reducirlo a la mitad hay que duplicar $\sqrt{n}$, es decir, multiplicar el tamaño de la muestra por 4.

Se comprueba despejando. El nuevo error es $E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,58}}{2}}=\mathrm{2,29}$ y

$n^{\mathrm{\prime }}={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E^{\mathrm{\prime }}}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,81}\cdot 8}{\mathrm{2,29}}}\right)}^2={\left(\mathrm{6,3246}\right)}^2=40$

Habría que tomar una muestra de 40 clientes, cuatro veces la inicial.