Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Navarra · 2024

Queremos construir un tetraedro de volumen $3u^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x-y-2z-2=0$ con los ejes de coordenadas.

a) ¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? [1,5 puntos]

b) Encuentre dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. [1 punto]

Hallamos primero los tres vértices de la base, que son los cortes del plano con los ejes. Basta anular las otras dos coordenadas en $\pi\equiv2x-y-2z-2=0$:

$y=z=0 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow A(1,0,0)$

$x=z=0 \Rightarrow -y=2 \Rightarrow B(0,-2,0)$

$x=y=0 \Rightarrow -2z=2 \Rightarrow C(0,0,-1)$



El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

$\overrightarrow{AB}=(-1,-2,0) \qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,-1)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & -2 & 0\\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix}=(2,-1,-2)$

$S=\dfrac{\left|(2,-1,-2)\right|}{2}=\dfrac{\sqrt{4+1+4}}{2}=\dfrac{3}{2}\ \text{u}^2$

$\textbf{a) ¿A qué distancia de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro?}$

El volumen de un tetraedro es un tercio del área de la base por la altura, y la altura es justamente la distancia del cuarto vértice al plano que contiene a la base:

$V=\dfrac13\,S\,h \Rightarrow 3=\dfrac13\cdot\dfrac32\cdot h \Rightarrow 3=\dfrac{h}{2} \Rightarrow h=6$

El cuarto vértice tiene que estar a 6 unidades del plano $\pi$.

$\textbf{b) Encuentre dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado.}$

Buscamos los puntos $P(x,y,z)$ que distan 6 de $\pi$:

$d(P,\pi)=\dfrac{|2x-y-2z-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\dfrac{|2x-y-2z-2|}{3}=6 \Rightarrow |2x-y-2z-2|=18$

lo que da dos planos paralelos a $\pi$, uno a cada lado:

$2x-y-2z-2=18 \Rightarrow 2x-y-2z=20 \qquad 2x-y-2z-2=-18 \Rightarrow 2x-y-2z=-16$

Cualquier punto de cualquiera de los dos sirve. Tomando en cada uno el más cómodo, el del eje $OX$:

$y=z=0,\ 2x=20 \Rightarrow P_1(10,0,0) \qquad y=z=0,\ 2x=-16 \Rightarrow P_2(-8,0,0)$

Se comprueban las dos distancias:

$d(P_1,\pi)=\dfrac{|20-2|}{3}=6 \qquad d(P_2,\pi)=\dfrac{|-16-2|}{3}=6$

Dos puntos válidos son $P_1(10,0,0)$ y $P_2(-8,0,0)$, situados en semiespacios distintos: los dos tetraedros que forman con la base $ABC$ tienen volumen $3\,\text{u}^3$.