Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2020

En un recipiente cerrado de $3{,}0\ \text{L}$, en el que inicialmente se ha realizado el vacío, se introducen $0{,}1$ moles de pentacloruro de fósforo, $\text{PCl}_5(g)$, $0{,}2$ moles de tricloruro de fósforo, $\text{PCl}_3(g)$, y $0{,}2$ moles de cloro, $\text{Cl}_2(g)$, y se eleva la temperatura de la mezcla gaseosa a 250 °C, alcanzándose el siguiente equilibrio:

$\text{PCl}_5(g) \rightleftharpoons \text{PCl}_3(g) + \text{Cl}_2(g)$

a) Indique, de forma razonada, el sentido en el que el sistema evolucionará de forma espontánea para alcanzar el estado de equilibrio. [1,0 punto]

b) Calcule la concentración en el equilibrio del $\text{PCl}_3(g)$. [1,0 punto]

Datos: $K_c = 9{,}0\cdot 10^{-3}$ a 250 °C, cuando las concentraciones se expresan en $\text{mol}\,\text{L}^{-1}$.

$\textbf{a) Indique, de forma razonada, el sentido en el que el sistema evolucionará de forma espontánea para alcanzar el estado de equilibrio. [1,0 punto]}$

El criterio es comparar el cociente de reacción con la constante. El cociente $Q_c$ tiene la misma expresión que $K_c$, pero se evalúa con las concentraciones del momento, que aquí son las iniciales.

Las concentraciones de partida, con $V = 3{,}0$ L:

$[\mathrm{PCl_5}]_0 = \frac{0{,}1}{3{,}0} = 3{,}33 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{M}$

$[\mathrm{PCl_3}]_0 = [\mathrm{Cl_2}]_0 = \frac{0{,}2}{3{,}0} = 6{,}67 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{M}$

$Q_c = \frac{[\mathrm{PCl_3}]_0\,[\mathrm{Cl_2}]_0}{[\mathrm{PCl_5}]_0} = \frac{(6{,}67 \cdot 10^{-2})^2}{3{,}33 \cdot 10^{-2}} = \frac{4{,}44 \cdot 10^{-3}}{3{,}33 \cdot 10^{-2}}$

$Q_c = 0{,}133$

$Q_c = 0{,}133 \ > \ K_c = 9{,}0 \cdot 10^{-3}$

El cociente es unas quince veces mayor que la constante, lo que significa que en la mezcla inicial hay «demasiados productos» para el equilibrio. El sistema evolucionará consumiéndolos, es decir, se desplazará hacia la $\textbf{izquierda}$, en el sentido de la $\textbf{formación de PCl}_5$, hasta que $Q_c$ baje al valor de $K_c$.

$\textbf{b) Calcule la concentración en el equilibrio del PCl₃(g). [1,0 punto]}$

Como la reacción avanza hacia la izquierda, se plantea la tabla con el $\mathrm{PCl_5}$ formándose. Llamando $x$ a la concentración de $\mathrm{PCl_3}$ que reacciona, y teniendo en cuenta que consume otro tanto de $\mathrm{Cl_2}$ y produce otro tanto de $\mathrm{PCl_5}$:

$$	$\mathrm{PCl_5}$	$\mathrm{PCl_3}$	$\mathrm{Cl_2}$ Inicial (M)	0,0333	0,0667	0,0667 Cambio (M)	+x	−x	−x Equilibrio (M)	0,0333 + x	0,0667 − x	0,0667 − x

$K_c = \frac{(0{,}0667 - x)^2}{0{,}0333 + x} = 9{,}0 \cdot 10^{-3}$

$(0{,}0667 - x)^2 = 9{,}0 \cdot 10^{-3}\,(0{,}0333 + x)$

$4{,}44 \cdot 10^{-3} - 0{,}1333\,x + x^2 = 3{,}00 \cdot 10^{-4} + 9{,}0 \cdot 10^{-3}\,x$

$x^2 - 0{,}1423\,x + 4{,}144 \cdot 10^{-3} = 0$

$x = \frac{0{,}1423 \pm \sqrt{(0{,}1423)^2 - 4 \cdot 4{,}144 \cdot 10^{-3}}}{2} = \frac{0{,}1423 \pm 0{,}0607}{2}$

$x_1 = 4{,}08 \cdot 10^{-2} \qquad x_2 = 0{,}102$

Se descarta $x_2 = 0{,}102$ porque es mayor que la concentración inicial de $\mathrm{PCl_3}$: consumiría más de lo que hay y daría una concentración negativa. Con la raíz válida:

$[\mathrm{PCl_3}] = 0{,}0667 - 0{,}0408$

$[\mathrm{PCl_3}] = 2{,}58 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

Comprobación. En el equilibrio $[\mathrm{PCl_5}] = 0{,}0333 + 0{,}0408 = 7{,}42 \cdot 10^{-2}$ M, y

$K_c = \frac{(2{,}58 \cdot 10^{-2})^2}{7{,}42 \cdot 10^{-2}} = 9{,}0 \cdot 10^{-3}$

que es el dato del enunciado. El resultado es además coherente con el apartado a): la concentración de $\mathrm{PCl_3}$ ha bajado de 0,0667 a 0,0258 M, es decir, el sistema ha retrocedido, como se había predicho.