Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2021

Al elevar la temperatura de $0{,}1$ moles de $\text{N}_2\text{O}_4$ a $300\ \text{K}$ se produce la disociación del compuesto de acuerdo con el equilibrio $\text{N}_2\text{O}_4(g) \rightleftharpoons 2\,\text{NO}_2(g)$ con un valor de $K_P = 0{,}0962$, cuando las presiones se expresan en atmósferas. En el equilibrio, la presión total de la mezcla gaseosa es de $1{,}1\ \text{atm}$. Calcule la cantidad, en moles, de $\text{NO}_2(g)$ presente en el equilibrio a $300\ \text{K}$.

El dato del que hay que tirar es la presión total, porque combinada con la constante permite resolver el equilibrio sin conocer ni el volumen ni los moles totales por separado. Se plantea la tabla llamando $x$ a los moles de $\mathrm{N_2O_4}$ que se disocian, teniendo en cuenta que por cada uno aparecen dos de $\mathrm{NO_2}$:

$$	$\mathrm{N_2O_4}$	$2\,\mathrm{NO_2}$	Total Inicial (mol)	0,1	0	0,1 Cambio (mol)	−x	+2x	+x Equilibrio (mol)	0,1 − x	2x	0,1 + x

Las presiones parciales son la fracción molar por la presión total:

$p(\mathrm{N_2O_4}) = \frac{0{,}1 - x}{0{,}1 + x} \cdot 1{,}1 \qquad p(\mathrm{NO_2}) = \frac{2x}{0{,}1 + x} \cdot 1{,}1$

$K_P = \frac{p(\mathrm{NO_2})^2}{p(\mathrm{N_2O_4})} = \frac{\left(\dfrac{2x}{0{,}1+x}\right)^2 (1{,}1)^2}{\dfrac{0{,}1-x}{0{,}1+x}\,(1{,}1)}$

Al simplificar, uno de los factores $(0{,}1 + x)$ y una potencia de la presión se cancelan, y queda una expresión notablemente sencilla:

$K_P = \frac{4x^2 \cdot 1{,}1}{(0{,}1 + x)(0{,}1 - x)} = \frac{4{,}4\,x^2}{0{,}01 - x^2} = 0{,}0962$

$4{,}4\,x^2 = 0{,}0962\,(0{,}01 - x^2) = 9{,}62 \cdot 10^{-4} - 0{,}0962\,x^2$

$4{,}4962\,x^2 = 9{,}62 \cdot 10^{-4}$

$x^2 = 2{,}140 \cdot 10^{-4} \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}463 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol}$

Se descarta la raíz negativa, que no tiene sentido físico. La cantidad pedida es el doble:

$n(\mathrm{NO_2}) = 2x = 2{,}93 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol}$

Comprobación. Con $n(\mathrm{N_2O_4}) = 0{,}0854$ mol y $n_{\text{tot}} = 0{,}1146$ mol, las presiones parciales son $p(\mathrm{NO_2}) = 0{,}281$ atm y $p(\mathrm{N_2O_4}) = 0{,}819$ atm, cuya suma es la presión total de 1,1 atm; y con ellas

$K_P = \frac{(0{,}281)^2}{0{,}819} = 0{,}0962$

que es el dato del enunciado. El grado de disociación resulta ser $\alpha = 1{,}463 \cdot 10^{-2}/0{,}1 = 14{,}6\ \%$: a 300 K el tetraóxido de dinitrógeno está poco disociado, lo que concuerda con una constante bastante menor que la unidad.