Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2023

La constante de equilibrio $K_p$ para la reacción $\text{PCl}_5(g) \rightleftharpoons \text{PCl}_3(g) + \text{Cl}_2(g)$, a 250,00 °C, es 78,3 (cuando las presiones se expresan en $\text{atm}$). En un recipiente de $500\ \text{mL}$, a 250,00 °C, se introducen $3{,}12\ \text{g}$ de $\text{PCl}_5(g)$. Calcule las presiones parciales del $\text{PCl}_5(g)$ y del $\text{PCl}_3(g)$ cuando se alcanza el estado de equilibrio.

Datos: $A_{\text{r}}(\text{Cl}) = 35{,}45$, $A_{\text{r}}(\text{P}) = 30{,}974$ y $R = 0{,}08205746\ \text{atm}\cdot\text{L}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$.

El planteamiento natural aquí es trabajar directamente en presiones, porque la constante que dan es $K_p$ y lo que se pide son presiones parciales. Se calcula primero la presión que ejercería el $\mathrm{PCl_5}$ si no se disociara y luego se plantea el equilibrio con el avance medido en atmósferas.

$M(\mathrm{PCl_5}) = 30{,}974 + 5 \cdot 35{,}45 = 208{,}2\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$

$n_0 = \frac{3{,}12}{208{,}2} = 1{,}498 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{mol}$

Con $T = 250{,}00 + 273{,}15 = 523{,}15$ K y $V = 0{,}500$ L:

$p_0 = \frac{n_0\,R\,T}{V} = \frac{1{,}498 \cdot 10^{-2} \cdot 0{,}08205746 \cdot 523{,}15}{0{,}500} = 1{,}286\ \mathrm{atm}$

Llamando $x$ a la presión de $\mathrm{PCl_5}$ que se disocia, y teniendo en cuenta que por cada mol que desaparece aparece uno de cada producto:

$$	$\mathrm{PCl_5}$	$\mathrm{PCl_3}$	$\mathrm{Cl_2}$ Inicial (atm)	1,286	0	0 Cambio (atm)	−x	+x	+x Equilibrio (atm)	1,286 − x	x	x

$K_p = \frac{p(\mathrm{PCl_3})\,p(\mathrm{Cl_2})}{p(\mathrm{PCl_5})} = \frac{x^2}{1{,}286 - x} = 78{,}3$

La constante es muy grande comparada con la presión inicial, así que se espera una disociación casi completa y no cabe aproximación de ningún tipo:

$x^2 + 78{,}3\,x - 100{,}7 = 0$

$x = \frac{-78{,}3 + \sqrt{78{,}3^2 + 4 \cdot 100{,}7}}{2} = \frac{-78{,}3 + \sqrt{6533{,}8}}{2} = \frac{-78{,}3 + 80{,}83}{2}$

$x = 1{,}266\ \mathrm{atm}$

Se descarta la otra raíz por ser negativa. Las presiones parciales pedidas son entonces:

$p(\mathrm{PCl_3}) = x = 1{,}27\ \mathrm{atm}$

$p(\mathrm{PCl_5}) = 1{,}286 - 1{,}266 = 2{,}05 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{atm}$

Comprobación: $(1{,}266)^2/2{,}05 \cdot 10^{-2} = 78{,}3$, que es el valor de la constante.

El resultado dice que a 250 °C el pentacloruro de fósforo está prácticamente descompuesto: el grado de disociación es

$\alpha = \frac{1{,}266}{1{,}286} = 0{,}984$

es decir, el 98,4 %. Eso es coherente con una $K_p$ de casi 80 atm frente a una presión total de poco más de 2 atm: cuanto menor es la presión a la que se trabaja, más se desplaza hacia la derecha un equilibrio que aumenta el número de moles de gas.