Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una empresa juguetera lanza al mercado un nuevo modelo de balón de playa, que fabrica en tres plantas, A, B y C, de las que salen respectivamente el 45 %, 21 % y el 34 % de la producción total. Se ha detectado un fallo en la máquina utilizada en cada planta para aplicar los colores. De hecho, sale defectuoso el 1 % de los balones procedentes de la planta A, el 3 % de los provenientes de la B, y el 2 % de los de la C.

Seleccionamos un balón al azar de entre todos los que han salido de las tres plantas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y haya pasado por la máquina de la planta A? [1,25 puntos]

b) Si no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina de la planta B? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y haya pasado por la máquina de la planta A? [1,25 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ el balón procede de la planta A,

$B\equiv$ procede de la planta B,

$C\equiv$ procede de la planta C,

$D\equiv$ el balón es defectuoso, y $\overline{D}\equiv$ no lo es.

Del enunciado se leen $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}21$, $P(C)=0{,}34$, $P(D/A)=0{,}01$, $P(D/B)=0{,}03$ y $P(D/C)=0{,}02$.

El experimento tiene dos etapas —primero la planta de procedencia y después el control de calidad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $A$ y después la rama $\overline{D}$.

$P(A\cap\overline{D})=P(A)\cdot P(\overline{D}/A)=0{,}45\cdot0{,}99=0{,}4455$

La probabilidad pedida es $0{,}4455$, es decir, un 44,55 %.

$\textbf{b) Si no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina de la planta B? [1,25 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes, y para el denominador hace falta antes la probabilidad total de que el balón no sea defectuoso.

$P(\overline{D})=P(A)P(\overline{D}/A)+P(B)P(\overline{D}/B)+P(C)P(\overline{D}/C)$

$P(\overline{D})=0{,}45\cdot0{,}99+0{,}21\cdot0{,}97+0{,}34\cdot0{,}98$

$P(\overline{D})=0{,}4455+0{,}2037+0{,}3332=0{,}9824$

$P(B/\overline{D})=\dfrac{P(B)\cdot P(\overline{D}/B)}{P(\overline{D})}=\dfrac{0{,}2037}{0{,}9824}=\dfrac{2037}{9824}\approx0{,}2073$

Si el balón no es defectuoso, la probabilidad de que proceda de la planta B es $\dfrac{2037}{9824}\approx0{,}2073$, es decir, un 20,73 %.