Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 65 % de los clientes de un cierto supermercado compra leche de origen animal, el 25 % compra leche de origen vegetal y el 10 % restante no compra leche de ningún tipo. Además, el 20 % de los que compran leche de origen animal, el 70 % de los que compran leche de origen vegetal y el 10 % de los que no compran leche de ningún tipo compran también galletas de soja. Si se escoge al azar un cliente del supermercado: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen animal y galletas de soja? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal y no compre galletas de soja? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que compre galletas de soja? [0,75 puntos]

d) Si no compra galletas de soja, ¿cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen animal y galletas de soja? [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ comprar leche de origen animal,

$V\equiv$ comprar leche de origen vegetal,

$N\equiv$ no comprar leche de ningún tipo,

$G\equiv$ comprar galletas de soja, y $\overline{G}\equiv$ no comprarlas.

Del enunciado se leen $P(A)=0{,}65$, $P(V)=0{,}25$, $P(N)=0{,}10$, $P(G/A)=0{,}20$, $P(G/V)=0{,}70$ y $P(G/N)=0{,}10$.

El experimento tiene dos etapas —primero el tipo de leche y después las galletas—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $A$ y después la rama $G$.

$P(A\cap G)=P(A)\cdot P(G/A)=0{,}65\cdot0{,}20=0{,}13$

La probabilidad pedida es $0{,}13$, es decir, un 13 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal y no compre galletas de soja? [0,5 puntos]}$

Se recorre ahora la rama $V$ seguida de $\overline{G}$.

$P(V\cap\overline{G})=P(V)\cdot P(\overline{G}/V)=0{,}25\cdot(1-0{,}70)=0{,}25\cdot0{,}30=0{,}075$

La probabilidad pedida es $0{,}075$, es decir, un 7,5 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que compre galletas de soja? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $A$, $V$ y $N$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $G$.

$P(G)=P(A)P(G/A)+P(V)P(G/V)+P(N)P(G/N)$

$P(G)=0{,}65\cdot0{,}20+0{,}25\cdot0{,}70+0{,}10\cdot0{,}10$

$P(G)=0{,}13+0{,}175+0{,}01=0{,}315$

La probabilidad de que el cliente compre galletas de soja es $0{,}315$, es decir, un 31,5 %.

$\textbf{d) Si no compra galletas de soja, ¿cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{G})=1-P(G)=1-0{,}315=0{,}685$

$P(V/\overline{G})=\dfrac{P(V)\cdot P(\overline{G}/V)}{P(\overline{G})}=\dfrac{0{,}075}{0{,}685}=\dfrac{15}{137}\approx0{,}1095$

Si el cliente no compra galletas de soja, la probabilidad de que compre leche de origen vegetal es $\dfrac{15}{137}\approx0{,}1095$, es decir, un 10,95 %.