Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una cierta ciudad el 35 % del censo vota al partido A, el 45 % al partido B y el 20 % restante se abstiene. Se sabe, además, que el 20 % de los votantes del partido A, el 30 % de los del partido B y el 15 % de los que se abstienen son mayores de 60 años. Si se escoge al azar un ciudadano censado: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido A y sea mayor de 60 años? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? [0,75 puntos]

d) Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años? [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ votar al partido A,

$B\equiv$ votar al partido B,

$C\equiv$ abstenerse,

$M\equiv$ ser mayor de 60 años, y $\overline{M}\equiv$ tener como máximo 60 años.

Del enunciado se leen $P(A)=0{,}35$, $P(B)=0{,}45$, $P(C)=0{,}20$, $P(M/A)=0{,}20$, $P(M/B)=0{,}30$ y $P(M/C)=0{,}15$.

El experimento tiene dos etapas —primero la opción de voto y después la edad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $B$ y después la rama $\overline{M}$.

$P(B\cap\overline{M})=P(B)\cdot P(\overline{M}/B)=0{,}45\cdot(1-0{,}30)=0{,}45\cdot0{,}70=0{,}315$

La probabilidad pedida es $0{,}315$, es decir, un 31,5 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido A y sea mayor de 60 años? [0,5 puntos]}$

Se recorre ahora la rama $A$ seguida de $M$.

$P(A\cap M)=P(A)\cdot P(M/A)=0{,}35\cdot0{,}20=0{,}07$

La probabilidad pedida es $0{,}07$, es decir, un 7 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $A$, $B$ y $C$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $M$.

$P(M)=P(A)P(M/A)+P(B)P(M/B)+P(C)P(M/C)$

$P(M)=0{,}35\cdot0{,}20+0{,}45\cdot0{,}30+0{,}20\cdot0{,}15$

$P(M)=0{,}07+0{,}135+0{,}03=0{,}235$

La probabilidad de que el ciudadano sea mayor de 60 años es $0{,}235$, es decir, un 23,5 %.

$\textbf{d) Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(C/M)=\dfrac{P(C)\cdot P(M/C)}{P(M)}=\dfrac{0{,}20\cdot0{,}15}{0{,}235}=\dfrac{0{,}03}{0{,}235}=\dfrac{6}{47}\approx0{,}1277$

Si el ciudadano es mayor de 60 años, la probabilidad de que se haya abstenido es $\dfrac{6}{47}\approx0{,}1277$, es decir, un 12,77 %.