Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 55 % de los artículos que fabrica una empresa de iluminación son bombillas, el 30 % fluorescentes y el resto halógenos. Tras un análisis en el departamento de calidad se encuentra que el 2 % de las bombillas, el 1 % de los fluorescentes y el 3 % de los halógenos que se producen presenta algún tipo de defecto de fábrica. Si se escoge un producto al azar de los que se producen: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un fluorescente y no presente ningún defecto de fábrica? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bombilla y presente algún defecto de fábrica? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que presente algún defecto de fábrica? [0,75 puntos]

d) Si no presenta ningún defecto de fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea un halógeno? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un fluorescente y no presente ningún defecto de fábrica? [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$B\equiv$ el artículo es una bombilla,

$F\equiv$ el artículo es un fluorescente,

$H\equiv$ el artículo es un halógeno,

$D\equiv$ el artículo presenta algún defecto, y $\overline{D}\equiv$ no presenta ninguno.

Del enunciado se leen $P(B)=0{,}55$, $P(F)=0{,}30$ y, como el resto son halógenos, $P(H)=1-0{,}55-0{,}30=0{,}15$. Las condicionadas son $P(D/B)=0{,}02$, $P(D/F)=0{,}01$ y $P(D/H)=0{,}03$.

El experimento tiene dos etapas —primero el tipo de artículo y después el control de calidad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $F$ y después la rama $\overline{D}$.

$P(F\cap\overline{D})=P(F)\cdot P(\overline{D}/F)=0{,}30\cdot0{,}99=0{,}297$

La probabilidad pedida es $0{,}297$, es decir, un 29,7 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bombilla y presente algún defecto de fábrica? [0,5 puntos]}$

Se recorre ahora la rama $B$ seguida de $D$.

$P(B\cap D)=P(B)\cdot P(D/B)=0{,}55\cdot0{,}02=0{,}011$

La probabilidad pedida es $0{,}011$, es decir, un 1,1 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que presente algún defecto de fábrica? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $B$, $F$ y $H$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $D$.

$P(D)=P(B)P(D/B)+P(F)P(D/F)+P(H)P(D/H)$

$P(D)=0{,}55\cdot0{,}02+0{,}30\cdot0{,}01+0{,}15\cdot0{,}03$

$P(D)=0{,}011+0{,}003+0{,}0045=0{,}0185$

La probabilidad de que el artículo presente algún defecto de fábrica es $0{,}0185$, es decir, un 1,85 %.

$\textbf{d) Si no presenta ningún defecto de fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea un halógeno? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}0185=0{,}9815$

$P(H/\overline{D})=\dfrac{P(H)\cdot P(\overline{D}/H)}{P(\overline{D})}=\dfrac{0{,}15\cdot0{,}97}{0{,}9815}=\dfrac{0{,}1455}{0{,}9815}\approx0{,}1482$

Si el artículo no presenta ningún defecto, la probabilidad de que sea un halógeno es $0{,}1482$, es decir, un 14,82 %.