Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Se tiene una urna que contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Si se extraen al azar dos bolas de forma consecutiva y sin reemplazamiento: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas? [0,25 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos bolas extraídas sea negra? [0,75 puntos]

d) Si la segunda bola que se extrae es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas? [0,25 puntos]}$

La urna tiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas, es decir, 10 bolas en total. Se nombran los sucesos $B$, $N$ y $R$ según el color de la bola extraída, y se distingue la primera extracción de la segunda.

Como las extracciones son consecutivas y sin reemplazamiento, en la segunda quedan 9 bolas y la composición depende de lo que salió en la primera. El experimento se organiza en un diagrama de árbol.



La probabilidad pedida es la de recorrer la rama roja dos veces seguidas.

$P(R_{1}\cap R_{2})=\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45}\approx0{,}0222$

La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas es $\dfrac{1}{45}\approx0{,}0222$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color? [0,75 puntos]}$

Son tres sucesos incompatibles —las dos blancas, las dos negras o las dos rojas—, de modo que se suman sus probabilidades.

$P(\text{mismo color})=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9}$

$=\dfrac{20}{90}+\dfrac{6}{90}+\dfrac{2}{90}=\dfrac{28}{90}=\dfrac{14}{45}\approx0{,}3111$

La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color es $\dfrac{14}{45}\approx0{,}3111$.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos bolas extraídas sea negra? [0,75 puntos]}$

Conviene pasar al suceso contrario: que ninguna de las dos sea negra, es decir, que las dos salgan de entre las 7 bolas que no son negras.

$P(\text{ninguna negra})=\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}$

$P(\text{al menos una negra})=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}\approx0{,}5333$

La probabilidad de que al menos una de las dos bolas sea negra es $\dfrac{8}{15}\approx0{,}5333$.

$\textbf{d) Si la segunda bola que se extrae es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda extracción y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(B_{1}/R_{2})=\dfrac{P(B_{1})\cdot P(R_{2}/B_{1})}{P(R_{2})}$

El denominador se obtiene por el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que terminan en roja.

$P(R_{2})=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{10+6+2}{90}=\dfrac{18}{90}=\dfrac{1}{5}$

$P(B_{1}/R_{2})=\dfrac{\dfrac{10}{90}}{\dfrac{18}{90}}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\approx0{,}5556$

Si la segunda bola es roja, la probabilidad de que la primera haya sido blanca es $\dfrac{5}{9}\approx0{,}5556$.