Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una encuesta sobre hábitos de lectura, se encontró que el 50 % de los lectores prefieren los libros de ficción, el 30 % prefieren los libros de biografías y el resto prefieren los libros de poesía. Además, se descubrió que el 60 % de los que prefieren la ficción, el 40 % de los que prefieren biografías y el 25 % de los que prefieren poesía también participan en eventos de lectura. Si se escoge al azar una persona: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción y participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de poesía y no participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que participe en eventos de lectura? [0,75 puntos]

d) Si no participa en eventos de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción y participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$F\equiv$ preferir los libros de ficción,

$B\equiv$ preferir los libros de biografías,

$P\equiv$ preferir los libros de poesía,

$E\equiv$ participar en eventos de lectura, y $\overline{E}\equiv$ no participar.

Del enunciado se leen $P(F)=0{,}50$, $P(B)=0{,}30$ y, como el resto prefiere poesía, $P(P)=1-0{,}50-0{,}30=0{,}20$. Las condicionadas son $P(E/F)=0{,}60$, $P(E/B)=0{,}40$ y $P(E/P)=0{,}25$.

El experimento tiene dos etapas —primero la preferencia y después la participación—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $F$ y después la rama $E$.

$P(F\cap E)=P(F)\cdot P(E/F)=0{,}50\cdot0{,}60=0{,}30$

La probabilidad pedida es $0{,}30$, es decir, un 30 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de poesía y no participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]}$

Se recorre ahora la rama $P$ seguida de $\overline{E}$.

$P(P\cap\overline{E})=P(P)\cdot P(\overline{E}/P)=0{,}20\cdot(1-0{,}25)=0{,}20\cdot0{,}75=0{,}15$

La probabilidad pedida es $0{,}15$, es decir, un 15 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que participe en eventos de lectura? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $F$, $B$ y $P$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $E$.

$P(E)=P(F)P(E/F)+P(B)P(E/B)+P(P)P(E/P)$

$P(E)=0{,}50\cdot0{,}60+0{,}30\cdot0{,}40+0{,}20\cdot0{,}25$

$P(E)=0{,}30+0{,}12+0{,}05=0{,}47$

La probabilidad de que la persona participe en eventos de lectura es $0{,}47$, es decir, un 47 %.

$\textbf{d) Si no participa en eventos de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{E})=1-P(E)=1-0{,}47=0{,}53$

$P(F/\overline{E})=\dfrac{P(F)\cdot P(\overline{E}/F)}{P(\overline{E})}=\dfrac{0{,}50\cdot0{,}40}{0{,}53}=\dfrac{0{,}20}{0{,}53}=\dfrac{20}{53}\approx0{,}3774$

Si la persona no participa en eventos de lectura, la probabilidad de que prefiera los libros de ficción es $\dfrac{20}{53}\approx0{,}3774$, es decir, un 37,74 %.