Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un instituto, se sabe que el 45 % de los estudiantes practican algún deporte, el 30 % participan en actividades artísticas y el 25 % están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el 60 % de los estudiantes que practican deportes, el 40 % de los que participan en actividades artísticas y el 20 % de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil? [0,75 puntos]

d) Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado? [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$D\equiv$ practicar algún deporte,

$A\equiv$ participar en actividades artísticas,

$V\equiv$ estar involucrado en actividades de voluntariado,

$C\equiv$ ser miembro del consejo estudiantil, y $\overline{C}\equiv$ no serlo.

Del enunciado se leen $P(D)=0{,}45$, $P(A)=0{,}30$, $P(V)=0{,}25$, $P(C/D)=0{,}60$, $P(C/A)=0{,}40$ y $P(C/V)=0{,}20$. Los tres primeros suman 1, de modo que forman un sistema completo.

El experimento tiene dos etapas —primero la actividad y después la pertenencia al consejo—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $D$ y después la rama $C$.

$P(D\cap C)=P(D)\cdot P(C/D)=0{,}45\cdot0{,}60=0{,}27$

La probabilidad de que el estudiante practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil es $0{,}27$, es decir, un 27 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil? [0,5 puntos]}$

Se recorre ahora la rama $A$ seguida de $\overline{C}$.

$P(A\cap\overline{C})=P(A)\cdot P(\overline{C}/A)=0{,}30\cdot(1-0{,}40)=0{,}30\cdot0{,}60=0{,}18$

La probabilidad pedida es $0{,}18$, es decir, un 18 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil? [0,75 puntos]}$

Como $D$, $A$ y $V$ forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $C$.

$P(C)=P(D)P(C/D)+P(A)P(C/A)+P(V)P(C/V)$

$P(C)=0{,}45\cdot0{,}60+0{,}30\cdot0{,}40+0{,}25\cdot0{,}20$

$P(C)=0{,}27+0{,}12+0{,}05=0{,}44$

La probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil es $0{,}44$, es decir, un 44 %.

$\textbf{d) Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado? [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}44=0{,}56$

$P(V/\overline{C})=\dfrac{P(V)\cdot P(\overline{C}/V)}{P(\overline{C})}=\dfrac{0{,}25\cdot0{,}80}{0{,}56}=\dfrac{0{,}20}{0{,}56}=\dfrac{5}{14}\approx0{,}3571$

Si el estudiante no es miembro del consejo, la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado es $\dfrac{5}{14}\approx0{,}3571$, es decir, un 35,71 %.