Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una compañía de seguros de automóviles, el 17 % de los clientes tiene menos de 30 años, el 60 % tiene entre 30 y 60 años, y el resto es mayor de 60 años. El historial de partes de accidente del último año indica lo siguiente:

- entre los menores de 30 años, 3 de cada 5 no presentaron ningún parte;

- entre los clientes de 30 a 60 años, 9 de cada 10 no presentaron ningún parte;

- entre los mayores de 60 años, 3 de cada 4 no presentaron ningún parte.

Se selecciona al azar un cliente de la compañía. Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]

c) Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]}$

Se nombran los sucesos:

$J\equiv$ el cliente tiene menos de 30 años,

$D\equiv$ el cliente tiene entre 30 y 60 años,

$V\equiv$ el cliente es mayor de 60 años,

$P\equiv$ el cliente presentó al menos un parte, y $\overline{P}\equiv$ no presentó ninguno.

Del enunciado se leen $P(J)=0{,}17$, $P(D)=0{,}60$ y, como el resto es mayor de 60 años, $P(V)=1-0{,}17-0{,}60=0{,}23$. Las frecuencias «3 de cada 5», «9 de cada 10» y «3 de cada 4» son las probabilidades condicionadas de no presentar parte:

$P(\overline{P}/J)=\dfrac{3}{5}=0{,}6,\qquad P(\overline{P}/D)=\dfrac{9}{10}=0{,}9,\qquad P(\overline{P}/V)=\dfrac{3}{4}=0{,}75$

El experimento tiene dos etapas —primero el tramo de edad y después el historial—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Los tres tramos de edad forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total. Resulta más cómodo calcular primero la probabilidad de no presentar parte y pasar después al suceso contrario.

$P(\overline{P})=P(J)P(\overline{P}/J)+P(D)P(\overline{P}/D)+P(V)P(\overline{P}/V)$

$P(\overline{P})=0{,}17\cdot0{,}6+0{,}60\cdot0{,}9+0{,}23\cdot0{,}75$

$P(\overline{P})=0{,}102+0{,}54+0{,}1725=0{,}8145$

$P(P)=1-P(\overline{P})=1-0{,}8145=0{,}1855$

La probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente es $0{,}1855$, es decir, un 18,55 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado? [1 punto]}$

Tener 30 años o más significa pertenecer al tramo $D$ o al tramo $V$, que son incompatibles, de modo que la probabilidad pedida es la suma de las dos ramas correspondientes del árbol.

$P\left((D\cup V)\cap\overline{P}\right)=P(D)P(\overline{P}/D)+P(V)P(\overline{P}/V)$

$=0{,}60\cdot0{,}9+0{,}23\cdot0{,}75=0{,}54+0{,}1725=0{,}7125$

La probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara ningún parte es $0{,}7125$, es decir, un 71,25 %.

$\textbf{c) Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(J/P)=\dfrac{P(J)\cdot P(P/J)}{P(P)}$

$P(P/J)=1-P(\overline{P}/J)=1-0{,}6=0{,}4$

$P(J/P)=\dfrac{0{,}17\cdot0{,}4}{0{,}1855}=\dfrac{0{,}068}{0{,}1855}=\dfrac{136}{371}\approx0{,}3666$

Si el cliente presentó un parte, la probabilidad de que tenga menos de 30 años es $\dfrac{136}{371}\approx0{,}3666$, es decir, un 36,66 %.