Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una cierta ciudad, el 45 % del censo vota al partido A, el 40 % al partido B y el 15 % restante se abstiene. Se sabe, además, que el 25 % de los votantes del partido A, el 45 % de los del partido B y el 15 % de los que se abstienen son mayores de 60 años. Se escoge al azar un ciudadano censado. Realice las siguientes tareas que se plantean: [3 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? [1 punto]

c) Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años? [1 punto]}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ votar al partido A,

$B\equiv$ votar al partido B,

$C\equiv$ abstenerse,

$M\equiv$ ser mayor de 60 años, y $\overline{M}\equiv$ tener como máximo 60 años.

Del enunciado se leen $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}40$, $P(C)=0{,}15$, $P(M/A)=0{,}25$, $P(M/B)=0{,}45$ y $P(M/C)=0{,}15$.

El experimento tiene dos etapas —primero la opción de voto y después la edad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de la rama $B$ seguida de $\overline{M}$, es decir, un producto de la probabilidad de la primera etapa por la condicionada de la segunda.

$P(B\cap\overline{M})=P(B)\cdot P(\overline{M}/B)=0{,}40\cdot(1-0{,}45)=0{,}40\cdot0{,}55=0{,}22$

La probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años es $0{,}22$, es decir, un 22 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? [1 punto]}$

Los sucesos $A$, $B$ y $C$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $M$.

$P(M)=P(A)P(M/A)+P(B)P(M/B)+P(C)P(M/C)$

$P(M)=0{,}45\cdot0{,}25+0{,}40\cdot0{,}45+0{,}15\cdot0{,}15$

$P(M)=0{,}1125+0{,}18+0{,}0225=0{,}315$

La probabilidad de que el ciudadano elegido sea mayor de 60 años es $0{,}315$, es decir, un 31,5 %.

$\textbf{c) Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(C/M)=\dfrac{P(C)\cdot P(M/C)}{P(M)}$

$P(C/M)=\dfrac{0{,}15\cdot0{,}15}{0{,}315}=\dfrac{0{,}0225}{0{,}315}=\dfrac{1}{14}\approx0{,}0714$

Si el ciudadano es mayor de 60 años, la probabilidad de que se haya abstenido es $\dfrac{1}{14}\approx0{,}0714$, es decir, un 7,14 %.