Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una empresa de biotecnología ha desarrollado una prueba para una enfermedad. Se estima que el 3 % de la población padece la enfermedad. La prueba es altamente sensible, dando positivo en el 98 % de las personas enfermas. Sin embargo, en el 5 % de las personas sanas, la prueba da un falso positivo. Realice las siguientes tareas que se plantean: [3 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en la prueba. [1 punto]

b) Si una persona ha dado positivo, calcule la probabilidad de que realmente esté sana. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto para una persona elegida al azar. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en la prueba. [1 punto]}$

Se nombran los sucesos:

$E\equiv$ la persona padece la enfermedad,

$\overline{E}\equiv$ la persona está sana,

$P\equiv$ la prueba da positivo,

$\overline{P}\equiv$ la prueba da negativo.

Del enunciado se leen $P(E)=0{,}03$, $P(P/E)=0{,}98$ y $P(P/\overline{E})=0{,}05$, y de ahí $P(\overline{E})=1-0{,}03=0{,}97$.

El experimento tiene dos etapas —primero el estado de salud y después el resultado de la prueba—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Los sucesos $E$ y $\overline{E}$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(P)=P(E)\cdot P(P/E)+P(\overline{E})\cdot P(P/\overline{E})$

$P(P)=0{,}03\cdot0{,}98+0{,}97\cdot0{,}05=0{,}0294+0{,}0485=0{,}0779$

La probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo es $0{,}0779$, es decir, un 7,79 %.

$\textbf{b) Si una persona ha dado positivo, calcule la probabilidad de que realmente esté sana. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(\overline{E}/P)=\dfrac{P(\overline{E})\cdot P(P/\overline{E})}{P(P)}$

$P(\overline{E}/P)=\dfrac{0{,}97\cdot0{,}05}{0{,}0779}=\dfrac{0{,}0485}{0{,}0779}=\dfrac{485}{779}\approx0{,}6226$

De cada 100 personas que dan positivo, unas 62 están en realidad sanas: la probabilidad pedida es $0{,}6226$.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto para una persona elegida al azar. [1 punto]}$

La prueba se equivoca en dos casos incompatibles: cuando la persona está sana y da positivo (falso positivo) y cuando está enferma y da negativo (falso negativo). La probabilidad pedida es la suma de las dos ramas del árbol.

$P(\text{error})=P(\overline{E})\cdot P(P/\overline{E})+P(E)\cdot P(\overline{P}/E)$

$P(\overline{P}/E)=1-P(P/E)=1-0{,}98=0{,}02$

$P(\text{error})=0{,}97\cdot0{,}05+0{,}03\cdot0{,}02=0{,}0485+0{,}0006=0{,}0491$

La probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto es $0{,}0491$, es decir, un 4,91 %.