Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2020

Inicialmente se tienen $\mathrm{6,4}\cdot {10}^{24}$ núcleos de un cierto isótopo radiactivo. Transcurridos 8 años, el número de núcleos radiactivos se ha reducido a $\mathrm{4,2}\cdot {10}^{24}$. Determine:

a) La vida media del isótopo y la constante de desintegración. [1,5 puntos]

b) El periodo de semidesintegración. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El número de núcleos sin desintegrar sigue una ley exponencial:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

de la que se despeja la constante tomando logaritmos neperianos.





Se sustituyen los datos, con el tiempo en años:

$\mathrm{4,2}\cdot {10}^{24}=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{24}{e}^{-\lambda \cdot 8}$

$\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{6,4}}{\mathrm{4,2}}}=8\lambda \Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4212}}{8}}$

$\lambda =\mathrm{5,27}\cdot {10}^{-2}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

La vida media es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es la inversa de la constante:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,265}\cdot {10}^{-2}}}$

$\tau =\mathrm{19,0}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que quede la mitad de los núcleos:

${\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{5,265}\cdot {10}^{-2}}}$

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{13,2}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Se cumple, como siempre, que el periodo de semidesintegración es algo menor que la vida media, en concreto $\ln 2$ veces.