Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2020

Una lámina de caras planas y paralelas, de 4 cm de espesor tiene un índice de refracción 1,5 y se encuentra en el aire, de índice de refracción 1,0. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $4\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el aire en la lámina con un ángulo de 30°. Determine:

a) Las longitudes de onda del rayo en el aire y en el vidrio. [1 punto]

b) El ángulo de refracción en la lámina con un dibujo aclarativo. [1 punto]

c) La desviación espacial que sufre el rayo al salir de la lámina. [0,5 puntos]

Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c=\mathrm{3,0}\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Al cambiar de medio la frecuencia no varía, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}$





En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad $c$:

${\lambda }_{\text{aire}}={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{4\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{7,5}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=750\text{ nm}$

Y en el vidrio la longitud de onda se reduce en el factor del índice de refracción:

${\lambda }_{\text{vidrio}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_{\text{aire}}}{n}}={\displaystyle \frac{750}{\mathrm{1,5}}}$

${\lambda }_{\text{vidrio}}=5\cdot {10}^{-7}\text{ m}=500\text{ nm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{aclarativo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica la ley de Snell en la primera cara:

$n_{\text{aire}}\sin {30}^{\circ }=n\sin \widehat{r}$

$\sin \widehat{r}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,3333}$

$\widehat{r}={\mathrm{19,5}}^{\circ }$

El rayo se acerca a la normal al entrar en el vidrio, que es más denso ópticamente que el aire.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sufre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{salir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En la segunda cara el rayo vuelve a refractarse y, por ser las caras paralelas, sale con el mismo ángulo de ${30}^{\circ }$ con el que entró. El único efecto de la lámina es un desplazamiento lateral respecto de la trayectoria que habría seguido sin ella:

$d={\displaystyle \frac{e\mathrm{sen}(\widehat{\mathrm{ı}}-\widehat{r})}{\cos \widehat{r}}}$

$d={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{sen}({30}^{\circ }-{\mathrm{19,47}}^{\circ })}{\cos {\mathrm{19,47}}^{\circ }}}$

$d=\mathrm{7,75}\cdot {10}^{-3}\text{ m}=\mathrm{7,75}\text{ mm}$

El rayo emerge paralelo al incidente, pero desplazado unos $\mathrm{7,75}\text{ mm}$.