Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2022

Se dispone de una muestra de 200 g de ${}^{60}\text{Co}$, cuyo periodo de semidesintegración es de 5,27 años y su masa atómica es 60 u. Este radioisótopo se utiliza como fuente de rayos gamma en tratamientos de radioterapia.

a) Calcule la constante de desintegración y la actividad inicial de la muestra. [1,25 puntos]

b) Si la muestra debe ser reemplazada cuando la actividad haya descendido a la mitad de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil de una muestra destinada a este uso médico? [1,25 puntos]

Dato: número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

y la actividad es el producto de esa constante por el número de núcleos presentes.





$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{5,27}}}=\mathrm{0,132}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Para la actividad hace falta la constante en unidades del Sistema Internacional:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1315}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{4,17}\cdot {10}^{-9}{\text{s}}^{-1}$

El número inicial de núcleos se obtiene de la masa y de la masa atómica:

$N_0={\displaystyle \frac{m_0}{M}}{N}_A={\displaystyle \frac{200}{60}}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}$

$N_0=\mathrm{2,01}\cdot {10}^{24}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{4,171}\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{2,007}\cdot {10}^{24}$

$A_0=\mathrm{8,37}\cdot {10}^{15}\text{ Bq}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{reemplazada}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{descendido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{til}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{destinada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{dico?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se impone la condición del enunciado sobre la ley de desintegración:

${\displaystyle \frac{A_0}{2}}=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \ln {\displaystyle \frac{1}{2}}=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

Pero esa expresión es exactamente la definición del periodo de semidesintegración, así que no hace falta ningún cálculo más:

$t=T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{5,27}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La vida útil de la fuente de cobalto-60 es de $\mathrm{5,27}$ años. El resultado tiene sentido: como la actividad es proporcional al número de núcleos, que caiga a la mitad la actividad es lo mismo que se desintegre la mitad de los núcleos.