Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2023

El ${}_{84}^{210}\text{Po}$ se desintegra por emisión alfa dando lugar a Plomo estable, con periodo de semidesintegración de 138,4 días.

a) Escriba la reacción de desintegración. [0,5 puntos]

b) Calcule la constante de desintegración. [0,5 puntos]

Se dispone de una muestra de ${10}^{16}$ átomos de ${}_{84}^{210}\text{Po}$.

c) Al cabo de un año, ¿cuál será la actividad de la muestra y cuántos átomos de Polonio-210 quedarán? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una desintegración alfa el núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio-4, y se transforma en otro elemento.

Las leyes de conservación del número másico y del número atómico obligan a que el núcleo resultante tenga cuatro unidades menos de masa y dos de carga:

${}_{84}^{210}\text{Po }⟶{}_2^4\text{He}{+}_{82}^{206}\text{Pb}$

Se comprueba que los números cuadran: $210=4+206$ en el superíndice y $84=2+82$ en el subíndice, y en efecto el elemento de número atómico 82 es el plomo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que quede la mitad de los núcleos:

${\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$





$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{138,4}}}=\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

Conviene expresarla también en unidades del Sistema Internacional, porque hará falta para la actividad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-3}}{24\cdot 3600}}=\mathrm{5,80}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Polonio-210}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva con un tiempo de un año, expresado en días para que sea coherente con la constante:

$t=365\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$N=N_0{e}^{-\lambda t}={10}^{16}{e}^{-\mathrm{5,008}\cdot {10}^{-3}\cdot 365}$

$N={10}^{16}{e}^{-\mathrm{1,828}}=\mathrm{1,61}\cdot {10}^{15}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

La actividad es el producto de la constante de desintegración, en ${\text{s}}^{-1}$, por el número de núcleos que quedan:

$A=\lambda N=\mathrm{5,80}\cdot {10}^{-8}\cdot \mathrm{1,61}\cdot {10}^{15}$

$A=\mathrm{9,32}\cdot {10}^7\text{ Bq}$

Al cabo de un año, algo más de dos periodos y medio de semidesintegración, quedan $\mathrm{1,61}\cdot {10}^{15}$ átomos de polonio y la muestra tiene una actividad de $\mathrm{9,32}\cdot {10}^7\text{ Bq}$.