Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

Sean $A = (6, 2, -1)$, $B = (3, 0, 5)$ y $C = (-2, 1, 2)$ los vértices de un triángulo.

a) Calcule los ángulos internos del triángulo. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del triángulo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule los ángulos internos del triángulo. [1,25 puntos]}$

El ángulo interno en cada vértice es el que forman los dos vectores que salen de él hacia los otros dos, y se obtiene del producto escalar. Calculamos primero los seis vectores.

$\overrightarrow{AB}=(-3,-2,6),\quad \overrightarrow{AC}=(-8,-1,3),\quad \overrightarrow{BC}=(-5,1,-3)$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+4+36}=7,\quad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{64+1+9}=\sqrt{74},\quad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{25+1+9}=\sqrt{35}$

Vértice $A$:

$\cos\hat A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{24+2+18}{7\sqrt{74}}=\dfrac{44}{7\sqrt{74}}\approx0{,}7307\Rightarrow\hat A\approx43{,}05^\circ$

Vértice $B$:

$\cos\hat B=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{-15+2+18}{7\sqrt{35}}=\dfrac{5}{7\sqrt{35}}\approx0{,}1207\Rightarrow\hat B\approx83{,}07^\circ$

Vértice $C$:

$\cos\hat C=\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}=\dfrac{40-1-9}{\sqrt{74}\sqrt{35}}=\dfrac{30}{\sqrt{2590}}\approx0{,}5895\Rightarrow\hat C\approx53{,}88^\circ$

Los tres ángulos suman $43{,}05^\circ+83{,}07^\circ+53{,}88^\circ=180^\circ$, como debe ocurrir en cualquier triángulo.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo. [1,25 puntos]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados con origen común.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -3&-2&6\\ -8&-1&3\end{vmatrix}=(0,-39,-13)$

$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0+1521+169}=\sqrt{1690}=13\sqrt{10}$

$S=\dfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{13\sqrt{10}}{2}\approx20{,}5548\ \text{u}^2$

El área del triángulo es $\dfrac{13\sqrt{10}}{2}\approx20{,}5548$ unidades de área.