Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2025

Sean $u$ y $v$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^{3}$ perpendiculares entre sí y $w = u \times v$ su producto vectorial. Se definen $a = (u \times v) + w$, $b = v \times (v \times w)$ y $c = u \cdot (v \times w)$. Indica si $a$, $b$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $u$, $v$ y $w$. [2,5 puntos]

Los tres vectores del enunciado forman un triedro: $\vec u$ y $\vec v$ son perpendiculares entre sí por hipótesis, y $\vec w=\vec u\times\vec v$ es perpendicular a los dos por ser su producto vectorial. Además, como $\vec u\perp\vec v$, el módulo de $\vec w$ vale











$\left|\vec w\right|=\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|\operatorname{sen}90^{\circ}=\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|\neq0$

de modo que $\vec w$ no es el vector nulo y los tres son perpendiculares dos a dos. Sobre este triedro se responde a todo lo que se pide.





Conviene recordar antes las dos reglas que se van a usar: el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos, y el producto escalar de dos vectores es un número.

Para $\vec a$, basta observar que el enunciado escribe dos veces el mismo producto vectorial:

$\vec a=\left(\vec u\times\vec v\right)+\vec w=\vec w+\vec w=2\vec w$

$\vec a\ \text{es un VECTOR, paralelo a }\vec w\text{ (es el doble) y perpendicular a }\vec u\text{ y a }\vec v$

Para $\vec b$ hay que calcular primero el paréntesis, $\vec v\times\vec w$. Es un vector perpendicular a $\vec v$ y a $\vec w$, y en el triedro la única dirección perpendicular a esos dos es la de $\vec u$:

$\vec v\times\vec w=\vec v\times\left(\vec u\times\vec v\right)=\left|\vec v\right|^{2}\vec u$

En efecto, su módulo es $\left|\vec v\right|\left|\vec w\right|=\left|\vec v\right|^{2}\left|\vec u\right|$ y su sentido es el de $\vec u$, por la regla de la mano derecha aplicada al triedro. Multiplicamos vectorialmente otra vez por $\vec v$:

$\vec b=\vec v\times\left(\vec v\times\vec w\right)=\vec v\times\left(\left|\vec v\right|^{2}\vec u\right)=\left|\vec v\right|^{2}\left(\vec v\times\vec u\right)=-\left|\vec v\right|^{2}\left(\vec u\times\vec v\right)=-\left|\vec v\right|^{2}\vec w$

$\vec b\ \text{es un VECTOR, paralelo a }\vec w\text{ (de sentido opuesto) y perpendicular a }\vec u\text{ y a }\vec v$

Para $c$, la operación de fuera es un producto escalar, y el producto escalar de dos vectores es un número:

$c=\vec u\cdot\left(\vec v\times\vec w\right)=\vec u\cdot\left(\left|\vec v\right|^{2}\vec u\right)=\left|\vec v\right|^{2}\left(\vec u\cdot\vec u\right)=\left|\vec v\right|^{2}\left|\vec u\right|^{2}$

$c\ \text{es un ESCALAR, y además positivo}$

Resumiendo: $\vec a$ y $\vec b$ son vectores, los dos paralelos a $\vec w$ —y por tanto perpendiculares a $\vec u$ y a $\vec v$—, mientras que $c$ es un escalar, el producto mixto de los tres vectores, que vale $\left|\vec u\right|^{2}\left|\vec v\right|^{2}$ y no es nulo.