Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2022

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(-2, 1, 0)$ y $C(0, 1, 3)$, halle las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escriba todas las soluciones posibles. [2 puntos]

El cuarto vértice está en el eje $Y$, cuyos puntos tienen nulas las coordenadas primera y tercera, de modo que solo hay una incógnita: $D(0,d,0)$. El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que parten de un mismo vértice, y al imponer que valga 10 sale una ecuación en $d$.











$\overrightarrow{AB}=(-2,1,0)-(1,1,1)=(-3,0,-1)$

$\overrightarrow{AC}=(0,1,3)-(1,1,1)=(-1,0,2)$

$\overrightarrow{AD}=(0,d,0)-(1,1,1)=(-1,\,d-1,\,-1)$





La segunda columna del determinante tiene dos ceros, así que se desarrolla por ella:

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}-3&0&-1\\-1&0&2\\-1&d-1&-1\end{vmatrix}=-(d-1)\begin{vmatrix}-3&-1\\-1&2\end{vmatrix}$

$=-(d-1)(-6-1)=7(d-1)$

$V=\dfrac{1}{6}\left|7(d-1)\right|=10\ \Rightarrow\ \left|d-1\right|=\dfrac{60}{7}$

El valor absoluto obliga a estudiar los dos signos posibles:

$\begin{cases}d-1=\dfrac{60}{7}\ \Rightarrow\ d=\dfrac{67}{7}\\[1ex] d-1=-\dfrac{60}{7}\ \Rightarrow\ d=-\dfrac{53}{7}\end{cases}$

El resultado tiene una lectura geométrica sencilla: los tres vértices dados tienen la misma segunda coordenada, $y=1$, así que la base del tetraedro está contenida en el plano $y=1$ y su área vale

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{1}{2}\left|(0,7,0)\right|=\dfrac{7}{2}$

La altura desde $D$ es entonces la distancia de $D$ a ese plano, $|d-1|$, y hay dos posiciones simétricas respecto de él que dan el mismo volumen: una a cada lado.

Hay, por tanto, dos soluciones: $D\left(0,\frac{67}{7},0\right)$ y $D\left(0,-\frac{53}{7},0\right)$.