Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2024

Sean $A(1, 2, 3)$, $B(1, 0, -1)$ y $C(2, 2, 2)$ tres puntos en el espacio y $\vec{v}_{1}$ el vector que va de $A$ a $B$; $\vec{v}_{2}$ el vector que va de $B$ a $C$ y $\vec{v}_{3}$ el vector que va de $C$ a $A$.

a) Estudie si los vectores $\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$ y $\vec{v}_{3}$ son linealmente independientes. [1 punto]

b) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie si los vectores } \boldsymbol{\vec{v}_{1}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}_{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}_{3}}\textbf{ son linealmente independientes. [1 punto]}$

Calculamos primero los tres vectores restando coordenada a coordenada el punto de partida al de llegada.











$\vec v_{1}=\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)-(1,2,3)=(0,-2,-4)$

$\vec v_{2}=\overrightarrow{BC}=(2,2,2)-(1,0,-1)=(1,2,3)$

$\vec v_{3}=\overrightarrow{CA}=(1,2,3)-(2,2,2)=(-1,0,1)$





Los tres vectores recorren el triángulo $ABC$ y vuelven al punto de partida, de modo que su suma es el vector nulo:

$\vec v_{1}+\vec v_{2}+\vec v_{3}=(0,-2,-4)+(1,2,3)+(-1,0,1)=(0,0,0)$

Esa es ya una combinación lineal de los tres vectores, con coeficientes todos iguales a 1 y por tanto no todos nulos, que da el vector nulo: los vectores son linealmente dependientes. Lo confirma el determinante que forman, que ha de anularse:

$\begin{vmatrix}0&-2&-4\\1&2&3\\-1&0&1\end{vmatrix}=0+6+0-8-0+2=0$

Como el menor $\begin{vmatrix}0&-2\\1&2\end{vmatrix}=2\neq0$, el rango del conjunto es 2: los tres vectores son linealmente dependientes, aunque dos cualesquiera de ellos sí son independientes. Geométricamente, los tres son coplanarios: están en el plano que determinan los puntos $A$, $B$ y $C$.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [1 punto]}$

El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que determinan, así que el área del triángulo es la mitad. Tomamos los dos vectores que parten del vértice $A$.

$\overrightarrow{AB}=(0,-2,-4)\ ;\qquad \overrightarrow{AC}=(2,2,2)-(1,2,3)=(1,0,-1)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&-2&-4\\1&0&-1\end{vmatrix}=(2-0)\vec i-(0+4)\vec j+(0+2)\vec k=(2,-4,2)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\approx2{,}4495$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $\sqrt{6}\approx2{,}4495$ unidades de área.