Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

En el año 2017 se anunció el descubrimiento de un sistema extrasolar formado por siete planetas alrededor de una estrella enana roja de masa $M=\mathrm{1,77}\cdot {10}^{29}\text{ kg}$. Uno de estos planetas, que tiene una masa estimada $m=\mathrm{5,58}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$ y un radio $R=6660\text{ km}$, completa una órbita circular alrededor de su estrella cada 9 días terrestres y 4,8 horas. Se pide:

a) Calcule la distancia del planeta a su estrella.

b) Calcule la velocidad orbital del planeta.

c) ¿Cuál sería el periodo de un péndulo simple de $85\text{ cm}$ de longitud situado en la superficie de ese planeta?

Dato: constante de gravitación, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{estrella.}}$










La única fuerza sobre el planeta es la atracción gravitatoria de su estrella, y como la órbita es circular esa fuerza hace de centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

Simplificando la masa del planeta se llega a la tercera ley de Kepler:

$T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}{r}^3$





Se despeja el radio de la órbita, con el periodo en unidades del Sistema Internacional:

$T=9\cdot 86400+\mathrm{4,8}\cdot 3600=\mathrm{7,949}\cdot {10}^5\text{ s}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,77}\cdot {10}^{29}\cdot (\mathrm{7,949}\cdot {10}^5{)}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\mathrm{5,74}\cdot {10}^9\text{ m}$

El planeta orbita a unos $\mathrm{5,74}$ millones de kilómetros de su estrella, apenas un $4\mathrm{\%}$ de la distancia Tierra-Sol. Es lo esperable en torno a una enana roja, mucho menos masiva y menos luminosa que el Sol.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

En un movimiento circular uniforme, la velocidad es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el periodo:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{5,74}\cdot {10}^9}{\mathrm{7,949}\cdot {10}^5}}$

$v=\mathrm{4,54}\cdot {10}^4\text{ m/s}=\mathrm{45,4}\text{ km/s}$

Se mueve a unos $45\text{ km/s}$, casi el doble que la Tierra alrededor del Sol, como corresponde a una órbita mucho más cerrada.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndulo}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">85</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{planeta?}}$

Primero hay que calcular la gravedad en la superficie del planeta, que depende de su propia masa y de su radio, no de los de la estrella:

$g=G{\displaystyle \frac{m}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,58}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,66}\cdot {10}^6{)}^2}}$

$g=\mathrm{8,39}{\text{m/s}}^2$

Se trata de un planeta muy parecido a la Tierra: su masa es prácticamente la misma y su radio algo mayor, de modo que la gravedad resulta un $14\mathrm{\%}$ menor.

El periodo de un péndulo simple es:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{L}{g}}}$

Se sustituye con la longitud en unidades del Sistema Internacional:

$L=85\text{ cm}=\mathrm{0,85}\text{ m}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,85}}{\mathrm{8,39}}}}=\mathrm{2,00}\text{ s}$

El péndulo tendría un periodo de $\mathrm{2,00}\text{ s}$. Curiosamente, con esa longitud sería allí un péndulo de segundos casi perfecto, cosa que en la Tierra exigiría una longitud de $\mathrm{99,3}\text{ cm}$.