Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int x\sqrt{2x+3}\,dx$. Puede utilizar el cambio de variable $t = \sqrt{2x+3}$.

b) [1,5 puntos] Sean los vectores $\vec{u} = (1,\,a,\,a)$ y $\vec{v} = (-1,\,0,\,2)$, con $a \in \mathbb{R}$. Determine el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de $60^\circ$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int x\sqrt{2x+3}\,dx}\textbf{. Puede utilizar el cambio de variable } \boldsymbol{t = \sqrt{2x+3}}\textbf{.}$

Aplicamos el cambio de variable sugerido, que convierte la raíz en un polinomio.

$t=\sqrt{2x+3}\Rightarrow t^2=2x+3\Rightarrow x=\dfrac{t^2-3}{2},\qquad dx=t\,dt$

$\int x\sqrt{2x+3}\,dx=\int\dfrac{t^2-3}{2}\cdot t\cdot t\,dt=\dfrac{1}{2}\int\left(t^4-3t^2\right)dt$

$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{t^5}{5}-t^3\right)+C=\dfrac{t^5}{10}-\dfrac{t^3}{2}+C$

Deshacemos el cambio sustituyendo $t=\sqrt{2x+3}$ y sacamos factor común $t^3$:

$\dfrac{t^3}{10}\left(t^2-5\right)+C=\dfrac{(2x+3)\sqrt{2x+3}}{10}\,(2x+3-5)+C$

$\int x\sqrt{2x+3}\,dx=\dfrac{(x-1)(2x+3)\sqrt{2x+3}}{5}+C$

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sean los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (1,\,a,\,a)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (-1,\,0,\,2)}\textbf{, con } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. Determine el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el ángulo entre los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ sea de } \boldsymbol{60^\circ}\textbf{.}$

Escribimos el coseno del ángulo mediante el producto escalar e imponemos que valga $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$.

$\vec u\cdot\vec v=1\cdot(-1)+a\cdot0+a\cdot2=2a-1$

$|\vec u|=\sqrt{1+a^2+a^2}=\sqrt{1+2a^2},\qquad |\vec v|=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}$

$\cos60^\circ=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{2a-1}{\sqrt{1+2a^2}\cdot\sqrt5}$

$2(2a-1)=\sqrt5\cdot\sqrt{1+2a^2}\Rightarrow 4a-2=\sqrt{5+10a^2}$

El miembro de la derecha es positivo, así que la igualdad obliga a que $4a-2\geq0$, es decir, $a\geq\frac{1}{2}$. Elevamos al cuadrado los dos miembros.

$(4a-2)^2=5+10a^2\Rightarrow 16a^2-16a+4=5+10a^2\Rightarrow 6a^2-16a-1=0$

$a=\dfrac{16\pm\sqrt{256+24}}{12}=\dfrac{16\pm\sqrt{280}}{12}=\dfrac{8\pm\sqrt{70}}{6}$

Se descarta la raíz $a=\frac{8-\sqrt{70}}{6}\approx-0{,}0611$ porque no cumple la condición $a\geq\frac{1}{2}$ impuesta al elevar al cuadrado.

El ángulo entre los dos vectores es de $60^\circ$ cuando $a=\dfrac{8+\sqrt{70}}{6}\approx2{,}7278$.