Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos tipos de bombillas: una LED y otra halógena. Se sabe que un 5 % de las LED y un 2 % de las halógenas salen defectuosas. Se elige al azar una bombilla de una caja que contiene 40 bombillas LED y 10 halógenas.

a) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa. (1,5 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa. (1 punto)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa. (1,5 puntos)}$

Nombramos los sucesos:

$L\equiv$ la bombilla es LED,
$H\equiv$ la bombilla es halógena,
$D\equiv$ la bombilla es defectuosa.

La caja contiene 40 bombillas LED y 10 halógenas, es decir, 50 en total. Por la regla de Laplace,

$P(L)=\dfrac{40}{50}=0{,}8 \qquad P(H)=\dfrac{10}{50}=0{,}2$

Hacemos el diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(\overline{D})=P(L)P(\overline{D}/L)+P(H)P(\overline{D}/H) =0{,}8\cdot 0{,}95+0{,}2\cdot 0{,}98$

$P(\overline{D})=0{,}76+0{,}196=0{,}956$

La probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa es $0{,}956$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa. (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(D)=1-P(\overline{D})=1-0{,}956=0{,}044$

$P(L/D)=\dfrac{P(L)P(D/L)}{P(D)} =\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}05}{0{,}044} =\dfrac{0{,}04}{0{,}044} =\dfrac{10}{11}\approx 0{,}9091$

Sabiendo que la bombilla es defectuosa, la probabilidad de que sea LED es $\dfrac{10}{11}\approx 0{,}9091$.